Les ordinaux sont les classes d'isomorphismes des ensembles bien ordonnées. Une relation de bon ordre dans un ensemble permet de mettre en oeuvre la réccurence transfinie, qui permet de couvrir tous les infinis, grace à la catégorie des ordinaux. C'est pourquoi on commence par présenter ce qu'est un ordre total et ce qu'est un bon ordre pour pouvoir dompter les infinies selon la théorie des ensembles.
Un ensemble totalement ordonnée `(E,"⩽")` vérifie les axiomes de la relation d'ordre totale : `AAx,AAy,AAz,`
Reflexivité de l'ordre : `x "⩽" x` Antisymétrie de l'ordre : `x"⩽"y "et" y"⩽"x => x"="y` Transitivité de l'ordre : `x"⩽"y "et" y"⩽"z => x"⩽"z` Ordre totale : `x"⩽"y "ou" y"⩽"x`
Il est dit de bon ordre si quelques soient une partie non vide `X` de `E`, il existe dans `X` toujours un plus petit élément :
Bon ordre : `AAX "⊆" E, EEx "∈" X, AAy "∈" X, x"⩽"y`
Il n'existe donc pas de suite infinie strictement décroissante, car une telle suite représenterait alors une partie qui ne possède pas de plus petit élément. Remarquez que cette hypothèse n'entrave pas la possibilité de l'infinitude comme le montre l'exemple des entiers naturels `NN` qui est bien ordonné.
Etant donné un bon ordre `"⩽"` et un prédicat unaire `P(".")`. Si quelque soit `x` nous avons :
`(AAy"<"x, P(y)) => P(x)`
alors nous pourons conclure par récurrence transfinie que `AAx, P(x)`.
Ce "théorème de la récurrence transfinie" se démontre par l'absurde. Supposons donc que :
`EEz, "¬"P(z)`
`(AAy"<"x, P(y)) => P(x)`
Démontrons que l'ordre n'est pas un bon ordre c'est à dire qu'il existe une partie qui n'a pas de plus petit élément. Par contraposé nous avons :
`"¬"P(x) => EEy"<"x, "¬"P(y)`
On part de `z_0`, comme `z_0` ne satisfait pas `P`, il doit nécessairement exister un élément `z_1"<"z` qui ne satisfait pas `P`. Puis comme `z_1` ne satisfait pas `P`, il doit nécessairement exister un élément `z_2"<"z_1`, et ainsi de suite, on construit ainsi une suite décroissante sans fin qui n'a pas de plus petit élément :
`(z_0,z_1,z_2,z_3,...) = (z_i)_(i in NN)`
Et donc l'ordre n'est pas un bon ordre.