L'analyse est la branche des mathématiques qui traite de la notion de limite dans un espace métrique.
Un espace métrique, dans une de ses plus grandes généralitées, est un ensemble de points `E` muni d'une distance `d in (E"×"E->K)` où `K` est un corps commutatif totalement ordonnée.
On désigne l'espace mérique par un couple `(E,d)` comprenant un ensemble sous-jacent `E` et une application `d(".,.")` appelée distance ou métrique, et les valeurs de distance sont regroupées dans l'ensemble d'arrivé de `d(".,.")` qui doit être un corps `K` commutatif totalement ordonné.
Le corps étant totalement ordonné, il s'apparente à une droite. C'est pourquoi l'espace métrique `(K,(x,y|->"|"x"-"y"|"))` est considéré comme « la version unidimensionnelle » de l'espace métrique `(E,d)`.
Par contre cette droite n'a aucune raison de pouvoir se plonger de façon isométrique dans `(E,d)` pour former un sous-espace métrique, car `E` peut être reduit à n'importe quel sous-ensemble. Néamoins on peut toujours procéder à une extension de `(E,d)` pour qu'elle y soit.
Par commodité on nomme la fonction de distance dans le corps `(x,y|->"|"x"-"y"|")` par la même lettre, `d(".,.")`, laissant à l'inférence de type le soin de déterminer si c'est l'application métrique de `E` ou de `K`. Et on peut toujours pousser encore davantage la fusion en choisissant un plongement de `K` dans une extension de `(E,d)` et en procèdant à son identification.
En effet, si`(E,d)` contient une copie isométrique de `K`, on peut alors identifier cette copie à `K`, et `K` devient un sous-espace métrique de `E`.
Les axiomes de l'espace métrique `(E,d)` comprennent deux parties, l'une concernant l'ensemble des valeurs envisageables de distance `K`, l'autre concernant la distance `d(".,.")` dans `E`.
Les valeurs de distances munies de l'addition et de la multiplication forme un corps totalement ordonné.
Notez que le plus grand de ces corps est celui des ordinaux, un corps qui couvrent la taille de tous les ensembles... On est donc dans une distance symétrique mais potentiellement non-archimédienne, avec une opération de produit de distance qui nous permet d'écrire des équations de distances.
Dans ce corps, le produit de `x` et de `y` est noté en juxtaposant les arguments `xy`, l'opposé de `x` est noté `"-"x`, l'inverse de `x` est noté `x^-1`.
Axiome du corps commutatif totalement ordonné : `AAxAAyAAz,`
(1) Commutativité de l'addition : `x"+"y = y"+"x` (2) Associativité de l'addition : `(x"+"y)"+"z = x"+"(y"+"z)` (3) Commutativité de la multuplication : `xy = yx` (4) Associativité de la multiplication : `x(yz)=(xy)z` (5) Distributivité : `x(y"+"z)=xy"+"xz` (6) Elément neutre de l'addition : `0"+"x = x` (7) Elément neutre de la multiplication : `1"∗"x = x` (8) L'opposé : `x"+"("-"x)=0` (9) L'inverse : `x"="0 "ou" x x^-1 "="1` (A) Reflexivité de l'ordre : `x "⩽" x` (B) Antisymétrie de l'ordre : `x"⩽"y "et" y"⩽"x => x"="y` (C) Transitivité de l'ordre : `x"⩽"y "et" y"⩽"z => x"⩽"z` (D) Ordre totale : `x"⩽"y "ou" y"⩽"x` (E) Ordre compatible avec l'addition : `x"⩽"y => x"+"z"⩽"y"+"z` (F) Ordre Compatible avec la multiplication : `x"⩽"y "et" "¬"(z"⩽"0) => xz"⩽"yz`
On fixe une priorité syntaxique des opérateurs de la plus forte à la plus faible : L'inverse, le produit, l'opposé, l'addition, la relation d'ordre, l'égalité, la disjonction, la conjonction, l'implication, l'équivalence.
`"inv", "⁎", "-", "+","⩽","=","ou", "et", "⇒", "⇔"`
Le corps `K` étant totalement ordonné, comme il contient `1`, il contient `NN`, et il contient `ZZ`, et il contient `QQ`.
Axiome de la distance `d(".,.")` dans l'espace : `AAxAAyAAz,`
(1) Positivité : `d(x,y) ⩽ 0` (2) Séparation : `d(x,y)"="0 <=> x"="y` (3) Symétrie : `d(x,y)=d(y,x)` (4) Inégalité triangulaire : `d(x,z) ⩽ d(x,y)+d(y,z)`
Ces axiomes induisent un procédé canonique de transformation qui, appliqué à une structure beaucoup plus générale `(A,f)` composée d'un ensemble `A` muni d'une forme binaire `f(".,.")` vers `K`, va produire un espace métrique `(E,d)` à l'aide d'un procédé transfinie couvrant toutes les grandeurs ordinales.
L'analyse consistant en l'étude de la notion de limite, le premier objet que nous étudierons sera la suite de points, qui est l'objet sans doute le plus général permettant d'introduire la notion de limite.
Une suite formelle de points `x = (x_0, x_1, x_2,...)` est définie comme une application de `NN` vers `E` qui à chaque indice entier `i` associe un point `x_i`.
Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2, ...)` converge vers le point `h` si et seulement si pour une grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel tous les points de la suite ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :
`AAq "∈" NN^"⁎", EE r "∈" NN, AAi "∈" NN, i">"r => d(x_i, h)"<"1"/"q`
Par skolémisation, on peut extraire la variable existentielle `r` et l'ajouter au langage en tant qu'opérateur unaire, c'est à dire comme une application, associant à chaque entier `q` un entier `r(q)`. La suite converge vers `h` si et seulement si il existe une application entière `r"(.)"` telle que, quelque soit `q` entier non nul, à partir de l'indice `r(q)` tous les points de la suites ont une distance à `h` inférieur à `1"/"q` :
`EEr "∈"(NN"→"NN), AAq "∈" NN^"⁎", AAi "∈" NN, i">"r(q) => d(x_i , h)"<"1"/"q`
On note cette propriété par `lim_(i->oo) x_i = h`
Notez que si le choix de cette application `r"(.)"` est restreint à une classe de fonctions arithmétiques tel que par exemple les fonctions calculables, alors cette restriction à pour effet de durcir la condition de convergence, c'est à dire qu'elle est susceptible de réduire l'ensemble des suites jugées convergentes, mais certainement pas de l'agrandir.
Augustin Louis, baron Cauchy, mathématicien français, (Paris en 1789 - Sceaux en Hauts-de-Seine en 1857).
Une suite de points `x = (x_0, x_1, x_2,...)` est de Cauchy si et seulement si pour toute grandeur arbitrairement petite `1"/"q` il existe un indice suffisamment grand à partir duquel tous les points de la suite ont une distance entre eux inférieur à `1"/"q`.
`AAq "∈" NN^"⁎", EEr "∈" NN, AA(i,j)"∈" NN^2, (i">"r "et" j">"r) => d(x_i, x_j)"<"1"/"q`
Cela définie un critère de convergence sans préciser sur quoi cela converge. Et cela peut converger sur un point qui n'est pas dans l'espace métrique initial. Les suites de Cauchy vont ainsi permettre de compléter les espaces métriques, et en premier lieu, de compléter `QQ` pour définir `RR`.
Une suite de Cauchy est simplement appelée une suite convergente sans préciser sur quoi elle converge, sachant que le point de convergence peut ne pas être dans l'espace métrique initial.
Par skolémisation, on peut extraire la variable existentielle `r` et l'ajouter au langage en tant qu'opérateur unaire, c'est à dire comme une application, associant à chaque entier `q` un entier `r(q)`. La suite est convergente si et seulement si il existe une application entière `r"(.)"` telle que, quelque soit `q` entier non nul, à partir de l'indice `r(q)` tous les points de la suites ont une distance entre eux toujours inférieur à `1"/"q` :
`EEr "∈"(NN"→"NN), AAq "∈" NN^"⁎", AA(i,j)"∈" NN^2, (i">"r(q) "et" j">"r(q)) => d(x_i, x_j)"<"1"/"q`
On note cette propriété pareillement `lim_(i->oo) x_i = h` où `h` appartient à `barK`, l'espace `K sube E` complété par les suites de cauchy.
Le corps `K` étant totalement ordonné, comme il contient `1`, il contient `NN`, et il contient `ZZ`, et il contient `QQ`, et sa complété `barK` contient `RR`.
Un espace métrique est dit complet si et seulement si toute les suites de Cauchy dans cet espace convergent vers des points dans cet espace.
Étant donné un espace métrique `(E,d)`. On complète cette espace de la façon suivante : Chaque point `x` est identifié à la suite de cauchy constante `(x,x,x,...)`
Étant donné deux suites de Cauchy sur cette espace `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)`. La suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` est également une suite de Cauchy sur l'espace métriques des valeurs `(K,d)` (cela est une conséquence de l'inégalité triangulaire de la distance)
Deux suites de Cauchy `x=(x_0, x_1, x_2,...)` et `y=(y_0, y_1, y_2,...)` sont dites équivalentes si et seulement si la suite des distances entre les deux suites composante par composante `(d(x_0,y_0), d(x_1,y_1), d(x_2,y_2),...)` converge vers `0`.
La complétude de l'espace métrique `(E,d)`, notée `(barE,bard)`, est l'espace des suites de Cauchy modulo cette équivalence, et que l'on munie de la distance `bard(x,y) = lim_(i->oo) d(x_i,y_i)`.
Discourir de la notion de topologie pour des espaces incomplets est moins intéressant. Car cela consiste à retirer arbitrairement des points de l'espace métrique, et a énumérer l'apparition de nouvelles propriétés singulières qui ne sont le résultat que de cette restriction arbitraire. C'est pourquoi dans la suite de notre étude, on ne conçoit que des espaces métriques complet `(E,d)`.
Considérons une partie `A` de `E`. C'est à dire un ensemble de points appartenant à l'espace métrique complet `(E,d)` .
Point adhérant : Un point `x` est adhérant à `A` si et seulement s'il existe une suite de points appartenants à `A` convergeant vers `x`.
Fermeture : La fermeture d'une partie `A` consiste à ajouter tous les points adhérants à `A`.
Partie fermée : Une partie `A` est fermée si et seulement si pour toute suite de points de `A` convergeant vers un point `x` de l'espace métrique, le point `x` appartient à `A`.
Partie ouverte : Les parties ouvertes sont définies comme étant les complémentaires des parties fermées dans l'espace métrique.
Voisinage : Un voisinage de `x` est un ouvert qui contient `x`.
Intérieur : Un point `x` est à l'intérieur de `A` si et seulement si il existe un ouvert contenant `x` qui soit inclus dans `A`.
L'intérieur d'une partie constitue une partie ouverte. La fermeture de l'interieur de `A` redonne la fermeture de `A`.
Frontière : La frontière d'une partie `A` est égale à la fermeture de `A` moins l'interieur de `A`. C'est aussi l'intersection de la fermeture de `A` et de la fermeture du complémentaire de `A`. C'est l'ensemble des points `x` tel que pour tout ouvert contenant `x`, celui-ci contient au moins un point appartenant à `A` et au moins un point n'appartenant pas à `A`.
Une partie est fermée si et seulement si elle contient sa frontière. Une partie est ouverte si et seulement si elle est disjointe de sa frontière. Une partie est à la fois ouverte et fermée si et seulement si sa frontière est vide. les parties `E` et `{}` sont à la fois ouvertes et fermés.
Partie connexe : La partie `A` est connexe si et seulement si ses seules parties à la fois ouvertes et fermées sont `A` et `{}`. Une partie est connexe si elle ne peut pas être “coupé en deux morceaux séparés, c'est à dire séparés d'une distance minimale non nulle. Car dans ce cas, ces deux morceaux seraient également à la fois ouverts et fermés.
Composante connexe : La partie `A` est une composante connexe de `E` si et seulement si c'est une partie connexe maximale. `E` est l'union disjointe de ses composantes connexes.
Boule ouverte : La boule ouverte `B(x,r)` de centre `x` et de rayon `r` regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur à `r`, c'est à dire `B(x,r) = {y "∈" E "/" d(x,y) "<" r}`.
Boule fermée : La boule fermée `barB(x,r)` de centre `x` et de rayon r regroupe tous les points `y` tel que la distance de `x` à `y` soit inferieur ou égale à `r`, c'est à dire `barB(x,r) = {y "∈" E "/" d(x,y) "⩽" r}`. On utilise une barre `barB`(centre, rayon) pour spécifier que la boule est fermée.
Pour tout voisinage de `x`, il existe un rayon suffisamment petit `1"/"q`, tel que la boule `B(x,1"/"q)` soit incluse dans le voisinage en question. Et toute boule de centre `x` et de rayon strictement positif constitue un voisinage de `x`. On en déduit que :
Les propriétés topologiques peuvent se définir uniquement avec la notion d'ouvert sans utiliser la notion de boule et réciproquement.
L'ensemble de toutes les parties ouvertes de l'espace est noté `ccT` et constitue la topologie de l'espace `E`.
Limite :
On peut redéfinir ce qu'est la convergence vers `h`. Une suite `(x_i)_(i inNN)` `"="` `(x_0, x_1, x_2,...)`, converge vers `h` si et seulement si pour tout voisinage `V` de `h`, il n'existe qu'un nombre fini de points de la suite en dehors de `V`.
`(lim_(i->oo) x_i = h) <=> AAV"∈"ccT, h"∈"V => X "\" V` est fini
Notez que dans l'approche intuitionniste, le domaine des parties ouvertes `V` considérées est restreint aux seules parties ouvertes énumérables. Cette restriction à pour effet d'assouplire la condition de convergence vers `h`, c'est à dire qu'elle est susceptible d'augmenter l'ensemble des suites jugées convergentes vers `h`, mais certainement pas de le diminuer. Comme nous avons remarqué l'inverse au chapitre 2. On en conclu que la topologie n'est pas modifiée lorsqu'on se restreint aux ensembles énumérables.
Cette propriété s'applique de la même façon à un ensemble dénombrable `X={x_0, x_1, x_2,...}`. Une partie dénombrable `X` converge vers `h` si et seulement si la différence entre elle et n'importe quelle voisinage de `h` est toujours un ensemble fini.
`(lim X= h)<=> AAV"∈"ccT, h"∈"V => X "\" V` est fini
---- 30 novembre 2025 ----