On considère une fonction `f(x,y)`, sous-entendant que c'est une fonction `f` analytique que l'on applique à deux arguments réels `x` et `y`, et qui retourne un réel. On s'interesse à ses dérivées totales et partielles. On adopte la notation du physicien. On fait de `f` une variable égale à `f(x,y)` comme suit : On déclare le neurone `f"←"(x,y)`. Après cette déclaration, `f` s'applique par défaut aux arguments `(x,y)` qui constitue un système de coordonnée par défaut, pour retourner la valeur de la variable `f`. Faisant que si l'on rencontre l'expression `f` dans une équation où l'on attend une valeur réel alors celle-ci doit être interprété comme étant la variable `f` qui, par définition de son neurone, est égale à `f(x,y)`. En résumer `f"="f(x,y)`.
Avec la notation du physicien, tout calcul interméfiaire peut constituer une variable. Une variable `f` est liée totalement à un ensemble de variable `{x,y,z}` s'il existe une fonction analytique calculant `f` à partir de `(x,y,z)`. Si on n'a pas prédéclarer de dépendance totale pour `f`, qui sert alors d'ensemble de variables de base par défaut pour le calcul de `f`, il peut y avoir une ambiguité dans la définition des dérivées partielles. En effet, si une variable `f` dépend totalement de `{x,y,z}`, et aussi, dépend totalement de `{x,u,v}` alors `f` désigne deux fonctions possibles. Dans ce cas la dérivée partielle `delf"/"delx` est ambigüe. Pour lever l'ambiguité il faut préciser de quelle détermination totale on parle, en précisant la liste des autres variables considérées comme fixes, qui avec `x` déterminent totalement `f`. Pour cela, on utilise la notation usuelle en thermodynamique :
`((delf)/(delx))_(y,z)` ou `((delf)/(delx))_(u,v)`
L'expression `delf"/"delx` est le rapport de deux variations infinitésimales du premier ordre, la variation de `f` lorsque seul `x` varie, et la variation de `x` qui est alors la cause de la variation de `f`. Ce rapport correspond à la dérivée partielle notée `f’_x` :
`f’←"(x,y)`
`f’_x = (delf)/(delx)` `f’_y = (delf)/(dely)`
On définie aussi l'opérateur de dérivée partielle ici notés entre crochet pour les mettre en évidence :
`[del/(delx)] f = (delf)/(delx) = f’_x`
`[del/(dely)] f = (delf)/(dely) = f’_y`
La variation infinitésimale du premier ordre de `f` lorsque seul son argument `x` varie de `delx`, se note `del_x f`. C'est un élément différentielle partielle. Il est liée linéairement avec une pente égale à la dérivée partielle `f’_x`. C'est la définition algébrique de la dérivée, une égalité hyperréel exacte :
`del_xf = f’_x dx = (delf)/(delx) dx`
La dérivée partielle selon `x` se comporte comme la dérivée de la fonction restreinte à son seul argument `x`. Aussi avons nous le développement de Taylor :
`f(x"+"dx,y) = f + del_xf + (del_x^2 f)/(2!)+ (del_x^3 f)/(3!)+... `
`f(x"+"dx,y) = e^(del_x) f`
Dans l'infiniment petit d'une fonction analytique, tout est linéaire. La différentielle total est la somme des différentielles partielles :
`df = (del f)/(delx) dx + (delf)/(dely) dy`
`df = del_x f+ del_y f`
On en déduit la propriété remarquable suivante sur les opérateurs de dérivée d'une fonction de `(x,y)` :
`d= del_x + del_y`
On en déduit la formule de Taylor :
`f(vecu +dvecu) = e^d f = e^(del_x+del_y) f = e^(del_x) e^(del_y) f`
`f(x"+"dx,y"+"dy) = f+(del_x "+"del_y)f + ((del_x "+"del_y)^2)/(2!)f + ((del_x "+"del_y)^3)/(3!)f+...`
`f(x"+"dx,y"+"dy) = sum_(n=0)^(n=oo) 1/(n!)(del_x "+"del_y)^n f `
`f(x"+"dx,y"+"dy) = sum_(i,j>=0) (del_x^i del_y^j)/(i!j!) f`
Pour la preuve de cette égalité, vous pouvez poser la question suivante à ChatGPT :
Les deux sommes infinies suivantes sont-elle égales ?
`sum_(i,j>=0) (A^i B^j) / (i! j!)` et `sum_(n>=0) (A"+"B)^n / (n!)`
On en déduit une fonction de `(dx,dy)` qui calcul `f(x"+"dx,y"+"dy)` et qui sécrit sous forme d'une série entière :
`f(x"+"dx,y"+"dy) = sum_(i,j>=0)1/(i!j!) (del^(i+j)f) / (delx^i dely^j) dx^idy^j`
`f(x"+"dx,y"+"dy) = sum_(i,j>=0) a_(i,j)dx^idy^j`
Où les coefficient de la série entière sont :
`a_(i,j)= sum_(i,j>=0)1/(i!j!) (del^(i+j)f) / (delx^i dely^j)`
Et réciproquement : Toute fonction analytique `g(x,y)` se développe en série entière :
`g(x,y) = sum_(i,j>=0) a_(i,j)x^iy^j`
où les coeffcients `a_(i,j)` valent :
`a_(i,j)= sum_(i,j>=0)1/(i!j!) (del^(i+j)g) / (delx^i dely^j)`
Autres propriétés remarquables :
`d^2 = (del_x + del_y)^2`
`d^2 = (del_x^2 + 2del_x del_y+del_y^2)`
`d^2f = (del^2f)/(delx^2)dx^2 + 2(del^2f)/(delxdely)dxdy + (del^2f)/(dely^2)dy^2`
`df^2 = (del_x f+ del_y f)2 = (del_x f)^2+2del_xfdel_yf+(del_yf)^2`
`df^2 = ((delf)/(delx)dx)^2+2((delf)/(delx)dx)((delf)/(dely)dy) + ((delf)/(dely)dy)^2`
Et cela se généralise pour la puissance `n` grace aux coefficients binomiaux :
`d^nf = (del_x "+" del_y)^n f = sum_(k=0)^(k=n) ((n),(k)) (del^nf)/(del^(n-k)x del^k y)dx^(n-k)dy^k`
`df^n = (del_xf "+" del_yf)^n = sum_(k=0)^(k=n) ((n),(k)) ((delf)/(delx)dx)^(n-k)((delf)/(dely)dy)^k`
Le principe se généralise pour `n` variables. Etant donnée une fonction analytique `f(x_1,x_2,..,x_n)`. La différentielle total `df` est la somme des différentielles partielles :
`df = (del f)/(delx_1) dx_1 + (delf)/(delx_2) dx_2 + ... + (delf)/(delx_n) dx_n `
`df = del_(x_1) f+ del_(x_2) f + ... + del_(x_n) f `
On en déduit la propriété remarquable suivante sur les opérateurs de dérivée d'une fonction dépendant totalement de `(x_1,x_2,...,x_n)` :
`d= del_(x_1) + del_(x_2)+...+del_(x_n)`
La formule se généralise pour le cas de `n` variables. Toute fonction analytique `f(x_1,x_2,...,x_n)` se développe en série entière :
`f(x_1,x_2,...,x_n) = sum_(i_1,i_2,...,i_n>=0) a_(i_1,i_2,...,i_n)x_1^(i_1)x_2^(i_2)...x_n^(i_n)`
où les coeffcients `a_(i_1,i_2,...,i_n)` valent :
`a_(i_1,i_2,...,i_n)= sum_(i_1,i_2,...,i_n>=0) 1/(i_1!i_2!...i_n!) (del^(i_1+i_2+...+i_n)f) / (delx_1^(i_1) delx_2^(i_2)...delx_n^(i_n)`
Autres propriétés remarquables :
`d^mf = sum_(i_1+i_2+...i_n=m) (m!)/(i_1!i_2!...i_n!) (del^nf)/(prod_(r=1)^n del x_r ^(i_r)) prod_(r=1)^n(dx_r ^(i_r))`
`df^m = sum_(i_1+i_2+...i_n=m) (m!)/(i_1!i_2!...i_n!) prod_(r=1)^n ((delf)/(del x_r)dx_r)^(i_r)`
La notation vectorielle de la dérivée que nous présentons dans la partie suivante va encore simplifier l'expression de la série de Taylor.