La mécanique statistique permet d'aborder la mécanique quantique d'une façon globale sans rupture avec les concepts classiques de la mécanique. Le cas le plus simple est celui d'un gaz parfait composé d'une seule particule de masse `m` dans un univers unidimensionnel.
Le premier principe que nous allons utiliser est le principe d'incertitude d'Heisenberg, un principe qui pourrait être déduit par le simple raisonnement en récusant les hypothèses aux conséquences impondérables. Le monde contient t-il dans l'infiniment petit, une quantité d'informations infinie ? y-a-t-il une infinité de mondes dans l'infiniment petit ? Une hypothèse aux conséquences assurément impondérables, c'est pourquoi elle est récusée... et que la matière est composée d'atomes, et que l'atome ne contient qu'une quantité finie d'informations, Somme toute, une complexité qui simplifie énormement.
ChatGPT (où un autre LLM tel que Kimi K2 par exemple) constitue un excellent professeur particulier, une intelligence artificielle au service de la diffusion du savoir. Elle synthétise l'ensemble des connaissances ce qu'aucun scientifique ne peut couvrire de par la vastitude des écrits, et ouvrent de nouvelles voies révolutionnaires de transmission du savoir. Tout devient simple à expérimenter mathématiquement.
Etant donné une particule, celle-ci est caractérisée par sa masse fixe `m`, sa position `x` et sa vitesse `v` qui évolue en fonction du temps `t`. On ne considère que des fonctions analytiques car toutes les interactions sont finies, et se déroulent dans l'infiniment petit sans à-coup. Mais, fût-elle analytique, une fonction analytique réel transporte une quantité d'information infinie. Pour rendre cette quantité d'information finie on introduit une quantification, par le biais d'une incertitude irréductible sur l'action. Ce n'est ni la position, ni la vitesse, ni le temps, ni même l'énergie qui sont quantifiés comme on peut le constater, mais l'action, qui représente le produit d'un intervalle de temps et d'un intervalle d'énergie, et qui représente aussi le produit d'un intervalle de position et d'un intervalle de vitesse multiplié par la masse.
On constate que les données de position et de vitesse ont une précision limitée interdépendante. Si on connait précisement `x` alors on ne peut pas connaitre précisement `v` et réciproquement si on connait précisement `v` alors on ne peut pas connaitre précisément `x`. Mais la mécanique quantique ne s'en tient pas au constat de cette seule limite des mesures. Puisque qu'elle est nécessaire pour obtenir une finitude de la quantité d'information, elle l'instaure comme un principe de réalité.
L'incertitude réelle sur la mesure de la position, notée `Deltax`, est inversement proportionnel à l'incertitude réelle sur la mesure de la vitesse, notée `Deltav`. Ces incertitudes structurelle obéïssent à la formule suivante :
`mDeltavDeltax=h`
Notez qu'on utilise souvent à la place de la vitesse `v`, la quantité de mouvement de la particule `mv`, appelée son impulsion, qui constitue un invariant newtonien.
La particule possède deux autres variables d'états redondantes que sont son énergie `E` et le temps `t` de la mesure, qui est en faite le temps impropre de la particule, le temps de l'observateur qui prend la mesure de `E`. L'incertitude sur la date, notée `Deltat`, est inversement proportionnel à l'incertitude sur la mesure de l'énegie, notée `DeltaE`. Ces incertitudes structurelles obéïssent à la formule suivante :
`DeltaEDeltat=h`
Autement dit, si on connait la date `t` deux fois plus précisement alors on connait `E` deux fois moins précisement, et réciproquement si on connait `E` deux fois plus précisement alors on connait `t` deux fois moins précisement. De même, si on connait `x` deux fois plus précisement alors on connait `v` deux fois moins précisement, et réciproquement si on connait `v` deux fois plus précisement alors on connait `x` deux fois moins précisement. Et il ne s'agit pas d'un manque d'information, il s'agit d'une incertitude réelle qui ne peut être réduite qu'au détriment de l'incertitude conjuguée.
Mais attention, ce principe d'incertitude diffère des inégalités d'Heisenberg sur la mesure qui développe un calcul de statistique sur la mesure effective dans notre espace 3D pour aboutire à l'inégalité suivante sur l'axe des `x`, du produit de l'écart-types en impulsion `sigma_p` par l'écart-type en position `sigma_x` :
`sigma_p sigma_x ⩾ h/(4pi)`
Le cas le plus simple est celui d'un gaz parfait composé d'une seule particule de masse `m` dans un univers unidimensionnel, confinée dans un segment de taille `L`.
Le monde ne doit pas être infini, et le moyen le plus simple de le rendre fini, consiste à relier les deux bouts, une hypothèse qui peut paraître farfelue mais qui a l'avantage d'être la plus simple.
Le repère comprend le point zéro et une direction `"+"1` ou `"-"1`. L'observateur est fixe au point zéro.
La mécanique classique donne alors comme caractéristique complète du système, la position `x "∈" [0,L[` de la particule, et sa vitesse `v "∈" ]"-"oo,"+"oo[` où plus couramment sa quantité de mouvement `mv` appelé aussi son impulsion, qui constitue un invariant dans la mécanique newtonienne.
Considérons un état macroscopique parmi les plus simples, un critère limitant le nombre d'état microscopiques, tel que le choix d'une énergie maximum `E` et d'un sens de dépacement `"+"1` c'est à dire `v ">" 0`.
`E=1/2mv^2`
Si l'observateur décide de ce déplacer avec une vitesse `u`. Ces caractéristiques exprimées dans le repère en mouvement change, et c'est un changement de repère galiléen.
Le principe d'incertitude d'Heisenberg dit que pour toute particule, sa position `x` et sa vitesse `v` sont définies avec une incertitude fondamentale notée respectivement `Deltax` et `Deltav` telles que `mDeltavDeltax"="h`. Ce principe affirme aussi que pour tout système, la date `t` de la mesure de l'énergie `E` du système, ainsi que l'énergie `E`, sont définis avec une incertitude fondamentale notée respectivement `Deltat` et `DeltaE` telles que `DeltatDeltaE"="h`.
Les états microscopiques du système sont caractérisés par la position `x` et la vitesse `v ">"0` de la particule. Ces micro-états sont quantifiées de la façon suivante, définissant ainsi les états quantiques. Considérons deux micro-états `(x,v)` et `(x’,v’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si :
`m|v’"-"v||x’"-"x| ⩾ h`
Comme l'axe des `x` constitue un cercle de périmètre `L`, nous utilisons une autre distance `d_L(".,.")` sur l'axe des `x` définie comme suit :
`d_L(x,x’) = min(|x’"-"x|, L"-"|x’"-"x|) in [0,L/2]`
Cela redéfinit la condition de séparation :
`m|v’"-"v|d_L(x,x’)⩾ h`
Il s'agit alors de calculer le nombre maximum d'états microscopiques séparés qu'il est possible de placer.
L'espace des points `(x,v)` s'appelle l'espace des phases. Chaque état quantique de la particule est caractérisée par une position et une vitesse `(x,v)` avec des incertitudes irreductibles conjuguées `Deltax` et `Deltav` vérifiant `mDeltavDeltax"="h`.
Dans un même état quantique, les valeurs possibles de positions sont indépendantes des valeurs possibles de vitesses. L'incertitude irréductible est la cause de cette indépendance.
La somme intégrale des points possibles `(x,v)` est alors égale au produit de la somme intégrale des valeurs possibles de `x`, et de la somme intégrale des valeurs possibles de `v`.
`int_(x)^(x+Deltax) int_(v)^(v+Deltav)dxdv = (int_(x)^(x+Deltax) dx)(int_(v)^(v+Deltav)dv) = DeltaxDeltav`
`DeltaxDeltav = h/m`
La somme intégrale s'appelle un volume. Ici c'est une surface car il y a deux dimensions que sont l'axe des positions possibles et l'axe des vitesses possibles. Mais, dans le cas générale avec `n` particules, l'espace des phase est de dimension `2n` que sont les axes des positions possibles de chaque particules et les axes des vitesses possibles de chaque particules. Toutes somme intégrale dans cet espace constitue un volume dans l'espace des phases.
On constate alors une propriété remarquable de l'espace des phases, c'est que n'importe quel état quantique occupe exactement un volume `h"/"m` ou simplement `h` si on considère l'impulsion au lieu de la vitesse dans la définition de l'espace des phases.
Considérons deux micro-états `(x,v)` et `(x’,v’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si :
`m|v’"-"v|d_L(x,x’)⩾ h`
Pour un état macroscopique considéré, on veut calculer le nombre maximum d'états microscopiques `(x,v)` séparés qu'il est possible de placer dans l'espace des phases. Assurément, chaque état microscopiques séparé correspond au moins à un état quantiques distincts et occupe un volume `h"/"m` . Mais, est-il vraiment nécessaire d'imposer une contrainte pairwise où toutes les paires `(x, v)` et `(x’,v’) ` doivent être ainsi séparées ? .
Il n'est pas idiot de penser que, ces plages d'incertitudes de volume `h"/"m` se composant librement et ne constituant pas des volumes rigides par principe, le seul volume globale qu'ils occupent dans l'espace des phases suffit en le divisant par le volume constant d'un état quantique à déterminer leur nombre. C'est le choix consensuelle actuelle en physique, on autorise le recouvrement local tant que l'intégrale de volume est respecté.
On s'intéressent à l'ensemble des points `(x,v)` satifaisant les critères d'un état macroscopique. Et on calcul le nombre d'états microscopiques (c'est à dire le nombre d'états quantiques) en divisant le volume accessible dans l'espace des phase par le volume constant d'un état quantique.
Dans cet univers ainsi limité dans l'infiniment petit, l'état microscopique le plus détaillé correspond à l'état quantique de chaque particule. C'est pourquoi nous pouvons définir l'entropie comme étant le logarithme du nombre d'états quantiques possibles satisfaisant l'état macroscopique.
Reprenons la description du modèle, une particule dans un univers unidimensionnel de taille `L` dans l'états macroscopique décrit par une énergie inférieure ou égale à `E` et une vitesse `v` positive.
La somme intégrale des points possibles `(x,v)` satisfaisant l'état macroscopique, s'appelle le volume des possibilitées ou le volume couvert dans l' espace des phases. La division de ce volume par `h"/"m` donnera le nombre d'état quantiques possibles.
L'impulsion de la particule est souvent notée `p"="mv`. Dans ce modèle dégénéré, l'impulsion devient une fonction de l'énergie `E` que nous pouvons calculer ainsi :
`E=1/2mv^2`
`v^2= 2E/m`
`v = sqrt(2E/m)`
`mv = msqrt(2E/m)`
`p = sqrt(2Em)`
Les positions possibles de `x` couvrent l'intervalle `[0,L]`, et sont indépendantes des impulsions possibles `mv` qui couvrent l'intervalle `]0,p]`. Le volume parcouru dans l'espace des phases par tous les états microscopiques possibles est donc `Lp`.
`int_(x=0)^L int_(p=0)^p dxdp = (int_(x=0)^L dx)(int_(p=0)^p dp) = Lp`
Le nombre `N` d'états quantiques distincts est considéré comme égale au rapport du volume couvert dans l'espace des phases divisé par le volume d'un état quantique qui vaut par principe `h`.
`N=(Lp)/h`
`N= sqrt(2m)/h L sqrt(E)`
On peut alors calculer l'énergie en fonction du nombre d'états quantiques d'énergie inférieure ou égale (et de vitesse `v ">"0`) :
`E= h^2/(2m)(N^2)/(L^2)`
Selon un principe homothétique, le système se comporte comme une particule. On peut alors considérer un état macroscopique quantique, un volume dans l'espace des phases `(Deltat, DeltaE)` dans les limites de l'incertitude, c'est à dire tel que `DeltatDeltaE=h`, déterminant un état macroscopique quantique de l'énergie. On calcul le nombre maximum d'états microscopiques séparés ayant chacun une énergie comprise entre `E` et `E"+"DeltaE`,
`N=(sqrt(2m))/hL(sqrt(E"+"DeltaE)-sqrt(E))`
Et si `DeltaE` est petit devant `E` :
N ≈ `(sqrt(m))/(hsqrt(2))L(DeltaE)/(sqrt(E))`
Les états microscopiques quantiques, vérifiant l'état macroscopique quantique sont tous considérés comme équiprobables par hypothèse ergotique.
Louis de Broglie propose une onde pilote associée à la particule qui est de longueur d'onde `lambda = h"/"mv`. La phase de l'onde pilote correspond alors à l'action de la particule.
Dans un univers unidimensionnel de topologie circulaire et de longueur `L`, la condition de quantification est que l'onde pilote soit stationnaire, c'est à dire que :
`L = n lambda = n h/(mv)`
---- 1 février 2025 ----
On pose comme caractéristique de l'état macroscopique que `v ">"0`.
Comme il n'y a pas d'énergie potentiel, seul le déplacement produit de l'action. La différentielle d'action est :
`dS=mvdx`
L'action produite en un tour est la somme intégrale de `dS` pour `x` variant de `0` à `L`
`S= int_(x=0)^L dS = int_(x=0)^L mvdx = mvL`
Pour les mêmes raisons que précédement, les états quantiques distincts devant être séparables, l'action totale `S` doit au moins être égale à `h`
`mvL=h`
`v=h/(mL)`
Dans cette situation, il n'y a qu'un seul état quantique possible, que l'on peut caractériser par un volume dans l'espace des phases `[x,x"+"Deltax]"×"]v,v"+"Deltav]` tel que `mDeltavDeltax"="h`. Et dans ce cas nous aurons :
`x=0` `Deltax=L` `v=0` `Deltav=h/(Lm)`
L'état quantique dénotant un mouvement dans le sens `"+"1` correspond à une longueur d'onde de l'onde associée à la particule qui dans la littérature scientifique est définie par `h"/"mv` (Onde pilote de Louis de Broglie), ce qui est bien conforme avec notre description :
`L= h/(mv) = h/(mh/(Lm))`
Néanmoins il existe un état quantique de plus faible énergie encore, celui correspondant à un seul ventre de l'onde associé, c'est-à-dire à la demi-longueur d'onde. Cet état quantique correspond à `v"="0` qui selon l'incertitude peut être négatif comme positif, exclue par notre condition macroscopique. Cela introduit une incohérence. Si la condition de quantification est qu'il y ait un nombre entier de ventres alors il faut que l'action par tour d'univers soit égale à un nombre entier de `h"/"2`. Voyons ce qu'en dit le modèle ondulatoire de Schrödinger.
Dans ce modèle, l'onde associée à la particule prend en quelque sorte le dessus et détermine la particule, voir même, la remplace. L'état de la particule est définie par une fonction d'onde, C'est un champ scalaire `varphi` de valeur complex, dont la norme au carré correspond à la densité de probabilité de présence de la particule.
En chaque point `x`, il y a une valeur du champ `varphi(x)`. On déclare le champ `varphi` par le neurone suivant :
`varphi ← x`
Cela signifie que la variable `varphi` dépend de `x`, et que `(x)` est le système de coordonnées par défaut pour la variable `varphi`. En résumé `varphi"="varphi(x)`.
L'onde de Schrödinger comme l'onde pilote est sinusoïdale pour une particule en mouvement uniforme. Elle est donc de la forme `varphi(x) "=" e^(2pi iax)` où il convient de déterminer `a`.
D'où vient cette forme `e^(2pi iax)` ? C'est la représentation simplifiée d'une sinusoïde par un vecteur tournant appelé spino. Le champ est un nombre complex qui évolue lorsque l'on se déplace sur l'axe des `x`. Il forme un vecteur tournant dans le plan complex, appelé spino. Ce spino tourne de `a` tours dans le plan complex à chaque déplacement d'une unité selon l'axe des `x`. La sinusoïde est la partie réel. La partie imaginaire est une sinusoïde décalée d'un quart de tour :
`varphi(x) = e^(2pi iax) = cos(2piax) + isin(2piax)`
La condition de quantification est que l'onde soit stationnaire, c'est à dire que `varphi(x) = varphi(x"+"L)`
---- 1 février 2026 ----
Si le gaz est maintenant constitué de deux particules. L'état macroscopique du système comprend l'énergie totale `E`, et la quantité de mouvement totale `p`.
`E = 1/2mv_1^2+1/2mv_2^2`
`p = mv_1+mv_2`
L'état macroscopique est caractérisé par une date d'observation `t` et une énergie `E`, et par un les intervalles d'incertitudes `DeltaE` et `Deltat` liées par la relation d'incertitude d'Heisenberg `DeltatDeltaE "=" h`, puis par une quantité de mouvement globale `p` et une position du centre de masse `x`, et par les intervalles d'incertitudes `Deltap` et `Deltax` liées par l'équation `DeltaxDeltap"=" h`.
L'état microscopique est décrit par les positions et vitesses des deux particules, `(x_1,v_1)` et `(x_2,v_2)`. L'espace des phases est donc un espace à 4 dimensions, `(x_1,v_1,x_2,v_2) in RR^4` avec les contraintes suivantes :
`E <= 1/2mv_1^2 + 1/2mv_2^2 <= E"+"DeltaE`
`p <= mv_1+mv_2 <= p"+"Deltap`
Dans un soucis de simplification, commençons par un problème plus simple en considérant un état macroscopique plus général défini juste par `E` et `DeltaE`. Pour calculer le nombre d'états quantiques d'énergie comprise entre `E` et `E+DeltaE`, il suffit de calculer l'intégrale parcourue par les points `(x_1,v_1,x_2,v_2)` et de diviser ce volume de l'espace des phases par `h`.
Dans un gaz parfait, il n'y a pas d'interaction entre les particules, celles-ci se croisent et se traversent le cas échéant. Les positions possibles parcourent `x "∈" [0,L[`, et sont indépendantes des vitesses possibles, donc :
`int_(x_1) int_(x_2) int_(v_1) int_(v_2) dx_1dx_2dv_1dv_2 = L^2 int_(v_1) int_(v_2) dv_1dv_2`
---- 29 janvier 2026 ----
Pour chaque valeur d'énergie `E` et de quantité de mouvement `p` on calcul le volume accessible dans l'espace des phases.
possibles parcourent `mv in [p,p"+"Deltap]`. Les positions possible de la premières particules parcourt `[0,L]"×"[p,p"+"Deltap]` indépendament des positions de la seconde particule. Donc le volume accessible dans l'espace des phases est :
`[0,L]"×"[p,p"+"Deltap]"×"[0,L]"×"[p,p"+"Deltap]`
`[x_1,x_1"+"Deltax_1]×[mv_1, mv_1"+"mDeltav_1]×[x_2,x_2"+"Deltax_2]×[mv_2, mv_2"+"mDeltav_2]`
C'est à dire :
`Deltax_1mDeltav_1Deltax_2mDeltav_2`
Considérons deux micro-états `(x_1,v_1,x_2,v_2)` et `(x_1’,v_1’,x_2’,v_2’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si nous avons à la fois :
`m|v_1’"-"v_1|d_L(x_1,x_1’)>= h`
`m|v_2’"-"v_2|d_L(x_2,x_2’)>= h`
Même raisonnement que précédement, un état quantique est représenté dans l'espace des phases par ce volume :
`[x_1,x_1"+"Deltax_1]×[mv_1, mv_1"+"mDeltav_1]×[x_2,x_2"+"Deltax_2]×[mv_2, mv_2"+"mDeltav_2]`
Sans même connaitre chacune de ces incertitudes `Deltax_1`, `Deltav_1`, `Deltax_2`, `Deltav_2`, le principe d'incertitude d'Heisenberg affirme que `mDeltav_1Deltax_1"="h` et que `mDeltav_2Deltax_2"="h` et donc que `mDeltav_1Deltax_1mDeltav_2Deltax_2=h^2`. Et donc, chaque état quantique de ce système occupe dans l'espace des phases, un volume de valeur exactement `h^2`.
Reste à calculer par intégration le volume parcouru par tous les états microscopiques possibles dans l'espace des phases, puis à le diviser par `h^2` pour obtenir une très bonne estimation du nombre d'états quantiques possibles du système.
Mais cela ne sera valable que dans le cas où les deux particules sont bien distinguées (tel que par exemple si elles ont une masse distincte). Car un phénomène quantique spéctaculaire se produit lorsque les particules ne sont pas distinguables. Les particules peuvent être permutées sans que cela ne change l'état quantique. Le nombre d'états quantique s'en trouve divisé par `2`.
Le deuixème cas le plus simple est celui d'une particule placée dans un puit de potentiel.
Comme nous ne voulons utiliser que des fonctions analytiques, la forme la plus simple du puit de potentiel est la parabole, un potentiel égal à `x^2`. Et cela correspond à la définition d'un oscillateur. La force qui dérive du potentiel est nulle au point zéro, est centripète, et croit linéairement selon l'éloignement comme si la particule était attachée par un ressort au point zéro.
La conservation de l'énergie découle du fait que la force dérive d'un potentiel, c'est pourquoi ce modèle n'est pas arbitraire. L'énergie se décompose en une énergie cinétique et une énergie potentielle :
`E = 1/2mv^2 + x^2`
`E = 1/2m(dx^2)/(dt^2) + x^2`
On demande à ChatGPT de résoudre cette équation différentielle comme suit :
Trouve la fonction x(t) qui vérifie l'équation différentielle E=(1/2)mx'(t)^2+x(t)^2
Et il donne la solution suivante où `alpha` est une constante arbitraire appartenant à `[0,2pi[` :
`x(t) = sqrt(E) sin( sqrt(2/m)t-alpha )`
Dans la littérature scientifique, on va tout de suite définir les états stationnaires et calculer leur énergie précise. Nous n'allons pas procéder de cette façon mais de la même façon que précédement. On calcul le volume accessible dans l'espace des phases, et on divise par `h`.
La position `x` varie de `"-"sqrt(E)` à `sqrt(E)`. La particule ne peut pas sortir du puit de potentiel.
La vitesse `v` varie de `"-"sqrt(2E"/"m)` à `sqrt(2E"/"m)` et est liée à la position `x`.
`v^2= 2/m(E-x^2)`
`v= sqrt(2/m)sqrt(E-x^2)`
Pour qu'il y ait un volume qui ne soit pas réduit à une fine trajectoire, il faut considérer un intervalle d'énergie, `[E,E"+"DeltaE]`. Le volume accessible s'obtient alors en intégrant :
`int_(e=E)^(E+DeltaE) int_(x=-sqrt(e))^(sqrt(e)) mvxdedx`
`sqrt(2m) int_e int_x sqrt(e-x^2)xdedx`
On demande à ChatGPT de calculer l'intégrale comme suit. On utilise la notation asciimath qui permet d'écrire l'équation directement avec le clavier. ChatGPT n'a aucune difficulté à lire ce code :
Calcule l'intégrale suivante : int_(e=E)^(e=E+ΔE) int_(x=-sqrt(e))^(x=sqrt(e)) sqrt(e-x^2) de dx
Et il donne la réponse :
`pi/4(2EDeltaE+(DeltaE)^2)`
Et si `DeltaE` est petit devant `E` :
≈ `pi/2 EDeltaE`
---- 28 janvier 2026 ----