La mécanique statistique permet d'aborder la mécanique quantique d'une façon globale sans rupture avec les concepts classiques de la mécanique. Le cas le plus simple est celui d'un gaz parfait composé d'une seule particule de masse `m` dans un univers unidimensionnel.
Le premier principe que nous allons utiliser est le principe d'incertitude d'Heisenberg, un principe qui pourrait être déduit par le simple raisonnement en récusant les hypothèses aux conséquences impondérables. Le monde contient t-il dans l'infiniment petit, une quantité d'informations infinie ? y-a-t-il une infinité de mondes dans l'infiniment petit ? Une hypothèse aux conséquences assurément impondérables, c'est pourquoi elle est récusée... et que la matière est composée d'atomes, et que l'atome ne contient qu'une quantité finie d'informations, somme toute, une complexité qui simplifie énormement.
ChatGPT (où un autre LLM tel que Kimi K2 par exemple) constitue un excellent professeur particulier, une intelligence artificielle au service de la diffusion du savoir. Elle synthétise l'ensemble des connaissances ce qu'aucun scientifique ne peut couvrire de par la vastitude des écrits, et ouvrent de nouvelles voies révolutionnaires de transmission du savoir. Tout devient simple à expérimenter mathématiquement.
Etant donné une particule, celle-ci est caractérisée par sa masse fixe `m`, sa position `x` et sa vitesse `v` qui évolue en fonction du temps `t`. On ne considère que des fonctions analytiques car toutes les interactions sont finies, et se déroulent dans l'infiniment petit sans à-coup. Mais, fût-elle analytique, une fonction analytique réel transporte une quantité d'information infinie. Pour rendre cette quantité d'information finie on introduit une quantification, par le biais d'une incertitude irréductible sur l'action. Ce n'est ni la position, ni la vitesse, ni le temps, ni même l'énergie qui sont quantifiés comme on peut le constater, mais l'action, qui représente le produit d'un intervalle de temps et d'un intervalle d'énergie, et qui représente aussi le produit d'un intervalle de position et d'un intervalle de quantité de mouvement (intervalle de vitesse multiplié par la masse).
On constate que les données de position et de vitesse ont une précision limitée interdépendante. Si on connait précisement `x` alors on ne peut pas connaitre précisement `v` et réciproquement si on connait précisement `v` alors on ne peut pas connaitre précisément `x`. Mais la mécanique quantique ne s'en tient pas au constat de cette seule limite des mesures.... Puisque qu'elle est nécessaire pour obtenir une finitude de la quantité d'information, elle l'instaure comme un principe de réalité.
L'incertitude réelle sur la mesure de la position, notée `Deltax`, est inversement proportionnel à l'incertitude réelle sur la mesure de la vitesse, notée `Deltav`. Ces incertitudes structurelle obéïssent à la formule suivante :
`mDeltavDeltax=h`
Notez qu'on utilise souvent à la place de la vitesse `v`, la quantité de mouvement de la particule `p"="mv`, appelée son impulsion, qui constitue un invariant newtonien.
`DeltapDeltax=h`
La particule possède deux autres variables d'états redondantes que sont son énergie `E` et le temps `t` de la mesure, qui est en faite le temps impropre de la particule, le temps de l'observateur qui prend la mesure de `E`. L'incertitude sur la date, notée `Deltat`, est inversement proportionnel à l'incertitude sur la mesure de l'énegie, notée `DeltaE`. Ces incertitudes structurelles obéïssent à la formule suivante :
`DeltaEDeltat=h`
Autement dit, si on connait la date `t` deux fois plus précisement alors on connait `E` deux fois moins précisement, et réciproquement si on connait `E` deux fois plus précisement alors on connait `t` deux fois moins précisement. De même, si on connait `x` deux fois plus précisement alors on connait `p` deux fois moins précisement, et donc `v` deux fois moins précisement. Et réciproquement si on connait `p` deux fois plus précisement c'est à dire si on connait `v` deux fois plus précisement, alors on connait `x` deux fois moins précisement. Et il ne s'agit pas d'un manque d'information, il s'agit d'une incertitude réelle qui ne peut être réduite qu'au profit d'une autre incertitude dite conjuguée.
Le cas le plus simple est celui d'un gaz parfait composé d'une seule particule de masse `m` dans un univers unidimensionnel, confinée dans un segment de taille `L`.
Le monde ne doit pas être infini, et le moyen le plus simple de le rendre fini, consiste à relier les deux bouts, une hypothèse qui peut paraître farfelue mais qui a l'avantage d'être la plus simple.
Le repère comprend le point zéro et une direction `"+"1` ou `"-"1`. L'observateur est fixe au point zéro.
La mécanique classique donne alors comme caractéristique complète du système, la position `x "∈" [0,L[` de la particule, et sa vitesse `v "∈" ]"-"oo,"+"oo[` où plus couramment sa quantité de mouvement `p"="mv` appelé aussi son impulsion, qui constitue un invariant dans la mécanique newtonienne.
Considérons un état macroscopique parmi les plus simples, un critère limitant le nombre d'état microscopiques, tel que le choix d'une énergie maximum `E` et d'un sens de dépacement `"+"1` c'est à dire `v ">" 0`.
`E=1/2mv^2`
Si l'observateur décide de ce déplacer avec une vitesse `u`. Ces caractéristiques exprimées dans le repère en mouvement change, et c'est un changement de repère galiléen.
Le principe d'incertitude d'Heisenberg dit que pour toute particule, sa position `x` et son impulsion `p` sont définies avec une incertitude fondamentale notée respectivement `Deltax` et `Deltap` telles que `DeltapDeltax"="h`. Ce principe affirme aussi que pour tout système, la date `t` de la mesure de l'énergie `E` du système, ainsi que l'énergie `E`, sont définis avec une incertitude fondamentale notée respectivement `Deltat` et `DeltaE` telles que `DeltatDeltaE"="h`.
Les états microscopiques du système sont caractérisés par la position `x` et l'impulsion `p">"0` de la particule. Ces états microscopiques sont quantifiées de la façon suivante, définissant ainsi les états quantiques. Considérons deux états microscopiques `(x,p)` et `(x’,p’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si :
`|p’"-"p||x’"-"x| ⩾ h`
Comme l'axe des `x` constitue un cercle de périmètre `L`, nous utilisons une autre distance `d_L(".,.")` sur l'axe des `x` définie comme suit :
`d_L(x,x’) = min(|x’"-"x|, L"-"|x’"-"x|)` et `d_L(x,x’) in [0,L/2]`
Cela redéfinit la condition de séparation :
`|p’"-"p|d_L(x,x’)⩾ h`
Il s'agit alors de calculer le nombre maximum d'états microscopiques séparés qu'il est possible de placer.
L'espace des points `(x,p)` s'appelle l'espace des phases (la référence à la phase découle d'une inteprétation ondulatoire qui sera expliquée plus-tard). Chaque état quantique de la particule est caractérisée par une position et une impulsion `(x,p)` avec des incertitudes irreductibles conjuguées `Deltax` et `Deltap` vérifiant `DeltapDeltax"="h`.
Dans un même état quantique, les valeurs possibles de positions sont indépendantes des valeurs possibles d'impulsion. La somme intégrale des points possibles `(x,p)` est alors égale au produit de la somme intégrale des valeurs possibles de `x`, et de la somme intégrale des valeurs possibles de `p`.
`int_(x)^(x+Deltax) int_(p)^(p+Deltap)dxdv = (int_(x)^(x+Deltax) dx)(int_(p)^(p+Deltap)dp) = DeltaxDeltap`
`DeltaxDeltap = h`
La somme intégrale s'appelle un volume. Ici c'est une surface car il y a deux dimensions que sont l'axe des positions possibles et l'axe des impulsions possibles. Mais, dans le cas générale avec `n` particules, l'espace des phases est de dimension `2n` que sont les axes des positions possibles de chaque particules et les axes des impulsions possibles de chaque particules. On constate alors cette propriété remarquable de l'espace des phases. N'importe quel état quantique occupe exactement un volume `h^n`, sans même qu'il soit nécessaire de connaitre les valeurs des incertitudes `Deltax, Deltap` de chaque particule du gaz parfait.
Considérons deux micro-états `(x,p)` et `(x’,p’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si :
`m|p’"-"p|d_L(x,x’)⩾ h`
Pour un état macroscopique considéré, on veut calculer le nombre maximum d'états microscopiques `(x,p)` séparés qu'il est possible de placer dans l'espace des phases. Assurément, chaque état microscopiques séparé correspond au moins à un état quantiques distincts et occupe un volume `h`. Mais, est-il vraiment nécessaire d'imposer une contrainte pairwise où toutes les paires `(x, p)` et `(x’,p’) ` doivent être ainsi séparées ?
Il n'est pas idiot de penser que, ces plages d'incertitudes de volume `h` se composant librement et ne constituant pas des volumes parallélépipédiques rigides, vont s'adapter pour remplir tout l'espace disponible dans l'espace des phases. Ainsi, le seul volume globale qu'ils occupent dans l'espace des phases, divisé par le volume constant d'un état quantique, déterminera leur nombre. C'est le choix consensuelle actuelle en physique, on autorise en quelque sorte le recouvrement local tant que l'intégrale de volume est respecté.
On s'intéressent à l'ensemble des points `(x,p)` satifaisant les critères d'un état macroscopique. Et on calcul le nombre d'états microscopiques quantifiés (c'est à dire le nombre d'états quantiques) en divisant le volume accessible dans l'espace des phases par le volume constant d'un état quantique.
Dans cet univers ainsi limité dans l'infiniment petit, l'état microscopique le plus détaillé correspond à l'état quantique du système. C'est pourquoi nous pouvons définir l'entropie comme étant le logarithme du nombre d'états quantiques possibles satisfaisant l'état macroscopique.
Reprenons la description du modèle : Une particule dans un univers unidimensionnel de topologie circulaire de taille `L`, dans l'états macroscopique décrit par une énergie inférieure ou égale à `E_"max"` que l'on notera simplement par la lettre `bbbE`, et par une vitesse `v` positive.
La somme intégrale des points possibles `(x,p)` satisfaisant l'état macroscopique, s'appelle le volume des possibilitées ou le volume couvert dans l'espace des phases. La division de ce volume par `h` donnera le nombre d'état quantiques possibles.
L'impulsion de la particule est notée `p"="mv`. Dans ce modèle dégénéré, l'impulsion est une fonction de l'énergie de la particule `E` :
`E=1/2mv^2`
`E=p^2/(2m)`
`p^2=2mE`
`p = sqrt(2mE)`
L'impulsion maximale que l'on note `p_"max"` est donc égale à
`p_"max"= sqrt(2mbbbE )`
On en déduit que l'impulsion doit être comprise dans un intervalle :
`p in [0,p_"max" ]`
Les positions possibles de `x` couvrent tout l'univers c'est à dire l'intervalle `[0,L]`, et sont indépendantes des impulsions possibles `p=mv` qui couvrent l'intervalle `[0,p_"max"]`. Le volume parcouru dans l'espace des phases par tous les états microscopiques possibles est donc `Lp`.
`int_(x=0)^L int_(p=0)^(p_"max") dxdp = (int_(x=0)^L dx)(int_(p=0)^(p_"max") dp) = Lp_"max" `
Le nombre `N` d'états quantiques distincts est considéré comme égale au rapport du volume couvert dans l'espace des phases divisé par le volume d'un état quantique qui vaut par principe `h`.
`N=(Lp_"max" )/h`
`N= sqrt(2mbbbE)L/h`
L'entropie s'obtient en prenant le logarithme du nombre d'états quantiques possibles. Le logarithme est en base `2` si on veut exprimer l'entropie notée `Q` en nombre de bits :
`Q=log(N)`
`Q=log(sqrt(2mbbbE)L/h)`
`Q=1/2log(2)+1/2log(m)+1/2log(bbbE)+log(L) - log(h)`
`Q=1/2- log(h)+log(L)+1/2log(m)+1/2log(bbbE)`
On définit un état macrscopique un peu plus générale en enlevant la condition sur la vitesse. L'états macroscopique est décrit par juste une énergie inférieure ou égale à `bbbE`. Dans cet état, l'impulsion de la particule doit toujours vérifier `p^2"="2mE` et donc `p "="±sqrt(2mE)`. On en déduit que l'impulsion doit être comprise dans un intervalle :
`p_"max" = sqrt(2mbbbE)`
`p in ["-"p_"max",p_"max"]`
Le volume accessible dans l'espace des phases est alors :
`(int_(x=0)^L dx)(int_(p=-p_"max")^(p_"max") dp) = 2Lp_"max"`
On peut alors calculer le nombre d'états quantiques et l'entropie exprimée en bits :
`N=2(Lp_"max" )/h`
`N=2sqrt(2mbbbE)L/h`
`Q=log(N)`
`Q=log(2sqrt(2mbbbE)L/h)`
`Q=log(2)+1/2log(2)+1/2log(m)+1/2log(bbbE)+log(L) - log(h)`
`Q=1+1/2- log(h)+log(L)+1/2log(m)+1/2log(bbbE)`
On peut alors calculer l'énergie `bbbE` en fonction du nombre d'états quantiques d'énergie inférieure ou égale à `bbbE` :
`N=2sqrt(2mbbbE)L/h`
`bbbE= 1/4h^2/(2m)(N^2)/(L^2)`
Et avec la condition macroscopique que la vitesse soit positive :
`N= sqrt(2mbbbE)L/h`
`bbbE= h^2/(2m)(N^2)/(L^2)`
Comme `1/8<2/8<3/8<4/8=1/2` nous avons les 4 premiers niveaux d'énergie suivants :