La mécanique statistique permet d'aborder la mécanique quantique d'une façon globale sans rupture avec les concepts classiques de la mécanique. Le cas le plus simple est celui d'un gaz parfait composé d'une seule particule de masse `m` dans un univers unidimensionnel.
Le premier principe que nous allons utiliser est le principe d'incertitude d'Heisenberg, un principe qui pourrait être déduit par le simple raisonnement en récusant les hypothèses aux conséquences impondérables. Le monde contient t-il dans l'infiniment petit, une quantité d'informations infinie ? y-a-t-il une infinité de mondes dans l'infiniment petit ? Une hypothèse aux conséquences assurément impondérables, c'est pourquoi elle est récusée... et que la matière est composée d'atomes, et que l'atome ne contient qu'une quantité finie d'informations, somme toute, une complexité qui simplifie énormement.
ChatGPT (où un autre LLM tel que Kimi K2 par exemple) constitue un excellent professeur particulier, une intelligence artificielle au service de la diffusion du savoir. Elle synthétise l'ensemble des connaissances ce qu'aucun scientifique ne peut couvrire de par la vastitude des écrits, et ouvrent de nouvelles voies révolutionnaires de transmission du savoir. Puis tout devient simple à expérimenter mathématiquement.
Etant donné une particule, celle-ci est caractérisée par sa masse fixe `m`, sa position `x` et sa vitesse `v` qui évolue en fonction du temps `t`. On ne considère que des fonctions analytiques car toutes les interactions se manifestent par des accélérations finies, et se déroulent dans l'infiniment petit sans à-coup. Mais, fût-elle analytique, une fonction analytique réel transporte une quantité d'information infinie. Pour rendre cette quantité d'information finie on introduit une quantification de l'action. On introduit ainsi une incertitude irréductible sur l'action. Ce n'est ni la position, ni la vitesse, ni le temps, ni même l'énergie qui sont quantifiés comme on peut le constater, mais l'action, qui représente le produit d'un intervalle de temps et d'un intervalle d'énergie.
Y-a-t-il un raisonnement qui peut amener à penser cela sans même avoir besoin de recourire à l'expérimentation ? c'est probable et cela doit faire l'objet de recherche. De la même façon que les transformations de Lorentz se déduisent de grands principes généraux, la quantification de l'action doit l'être également.
L'action est aussi le produit d'un intervalle de position et d'un intervalle de quantité de mouvement (intervalle de vitesse multiplié par la masse). On constate que les données de position et de vitesse ont une précision limitée interdépendante. Si on connait précisement `x` alors on ne peut pas connaitre précisement `v` et réciproquement si on connait précisement `v` alors on ne peut pas connaitre précisément `x`. Mais la mécanique quantique ne s'en tient pas au constat de cette seule limite des mesures..., étant nécessaire pour obtenir une finitude de la quantité d'information, elle l'instaure comme un principe de réalité.
L'incertitude réelle sur la mesure de la position, notée `Deltax`, est inversement proportionnel à l'incertitude réelle sur la mesure de la vitesse, notée `Deltav`. Ces incertitudes structurelle obéïssent à la formule suivante :
`mDeltavDeltax=h`
Notez qu'on utilise souvent à la place de la vitesse `v`, la quantité de mouvement de la particule `p"="mv`, appelée son impulsion, qui constitue un invariant newtonien.
`DeltapDeltax=h`
La particule possède deux autres variables d'états redondantes que sont son énergie `E` et le temps `t` de la mesure, qui est en faite le temps impropre de la particule, le temps de l'observateur qui prend la mesure de `E`. L'incertitude sur la date, notée `Deltat`, est inversement proportionnel à l'incertitude sur la mesure de l'énegie, notée `DeltaE`. Ces incertitudes structurelles obéïssent à la formule suivante :
`DeltaEDeltat=h`
Autement dit, si on connait la date `t` deux fois plus précisement alors on connait `E` deux fois moins précisement, et réciproquement si on connait `E` deux fois plus précisement alors on connait `t` deux fois moins précisement. De même, si on connait `x` deux fois plus précisement alors on connait `p` deux fois moins précisement, et donc `v` deux fois moins précisement. Et réciproquement si on connait `p` deux fois plus précisement c'est à dire si on connait `v` deux fois plus précisement, alors on connait `x` deux fois moins précisement. Et il ne s'agit pas d'un manque d'information, il s'agit d'une incertitude réelle qui ne peut être réduite qu'au profit d'une autre incertitude dite conjuguée.
Le cas le plus simple est celui d'un gaz parfait composé d'une seule particule de masse `m` dans un univers unidimensionnel, confinée dans un segment de taille `L`.
Le monde ne doit pas être infini, et le moyen le plus simple de le rendre fini, consiste à relier les deux bouts, une hypothèse qui peut paraître farfelue mais qui a l'avantage d'être la plus simple.
Le repère comprend le point zéro et une direction `"+"1` ou `"-"1`. L'observateur est fixe au point zéro.
La mécanique classique donne alors comme caractéristique complète du système, la position `x "∈" [0,L[` de la particule, et sa vitesse `v "∈" ]"-"oo,"+"oo[` où plus couramment sa quantité de mouvement `p"="mv` appelé aussi son impulsion, qui constitue un invariant dans la mécanique newtonienne.
Considérons un état macroscopique parmi les plus simples, un critère limitant le nombre d'états microscopiques, tel que le choix d'une énergie maximum `E`. Et on s'en tient à ce seul critère c'est à dire sans considération du sens de déplacement.
`E=1/2mv^2`
Le principe d'incertitude d'Heisenberg dit que pour toute particule, sa position `x` et son impulsion `p` sont définies avec une incertitude fondamentale notée respectivement `Deltax` et `Deltap` telles que `DeltaxDeltap"="h`. Ce principe affirme aussi que pour tout système, la date `t` de la mesure de l'énergie `E` du système, ainsi que l'énergie `E`, sont définis avec une incertitude fondamentale notée respectivement `Deltat` et `DeltaE` telles que `DeltatDeltaE"="h`.
Les états microscopiques du système sont caractérisés par la position `x` et l'impulsion `p` de la particule.
Notez que la seul façon de rendre finie la quantité d'information portée par cette particule, consiste à rendre fini le nombre d'états possibles, ce qui s'appelle une quantification des états. On le fait par le biais d'une incertitude irréductible sur l'action. Ce n'est ni la position, ni la vitesse, ni le temps, ni même l'énergie qui sont quantifiés comme on peut le constater, mais l'action, qui représente le produit d'un intervalle de temps et d'un intervalle d'énergie. Y-a-t-il un raisonnement qui peut amener à penser cela sans même avoir besoin de recourire à l'expérimentation ? Je le pense, car, de la même façon que les transformations de Lorentz se déduisent de grands principes généraux, la quantification de l'action doit l'être également.
Notez que la quantification de l'action ne se définit pas indépendamment de l'observateur. En effet, l'incertitude sur l'énergie est inversement proportionnel à l'incertitude sur le temps impropre de la particule, c'est à dire sur le temps propre de l'observateur.
Les états microscopiques sont quantifiées de la façon suivante, définissant ainsi les états quantiques. Considérons deux états microscopiques `(x,p)` et `(x’,p’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si :
`|p’"-"p||x’"-"x| ⩾ h`
Comme l'axe des `x` constitue un cercle de périmètre `L`, nous utilisons une autre distance `d_L(".,.")` sur l'axe des `x` définie comme suit :
`d_L(x,x’) = min(|x’"-"x|, L"-"|x’"-"x|)` et `d_L(x,x’) in [0,L/2]`
Cela redéfinit la condition de séparation :
`|p’"-"p|d_L(x,x’)⩾ h`
Il s'agit alors de calculer le nombre maximum d'états microscopiques séparés qu'il est possible de placer.
L'espace des points `(x,p)` s'appelle l'espace des phases (la référence à la phase découle d'une inteprétation ondulatoire qui sera expliquée plus-tard). Chaque état quantique de la particule est caractérisée par une position et une impulsion `(x,p)` avec des incertitudes irréductibles `Deltax` et `Deltap` vérifiant `DeltapDeltax"="h`.
Dans un même état quantique, les valeurs possibles de positions sont indépendantes des valeurs possibles d'impulsion. La somme intégrale des points possibles `(x,p)` est alors égale au produit de la somme intégrale des valeurs possibles de `x`, et de la somme intégrale des valeurs possibles de `p`.
`int_(x)^(x+Deltax) int_(p)^(p+Deltap)dxdv = (int_(x)^(x+Deltax) dx)(int_(p)^(p+Deltap)dp) = DeltaxDeltap = h`
La somme intégrale s'appelle une aire. Ici c'est une surface car il y a deux dimensions que sont l'axe des positions possibles et l'axe des impulsions possibles. Mais, dans le cas générale avec `n` particules, l'espace des phases est de dimension `2n` que sont les axes des positions possibles de chaque particules et les axes des impulsions possibles de chaque particules. La somme intégrale est de dimension `2n` et s'appelle un volume. On constate alors cette propriété remarquable de l'espace des phases. N'importe quel état quantique occupe exactement un volume `h^n`, sans même qu'il soit nécessaire de connaitre les valeurs des incertitudes `Deltap, Deltax` de chaque particule du gaz parfait.
Considérons deux micro-états `(x,p)` et `(x’,p’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si :
`m|p’"-"p|d_L(x,x’)⩾ h`
Pour un état macroscopique considéré, on veut calculer le nombre maximum d'états microscopiques `(x,p)` séparés qu'il est possible de placer dans l'espace des phases. Assurément, chaque état microscopiques séparé correspond au moins à un état quantiques distincts et occupe un volume `h`. Mais, est-il vraiment nécessaire d'imposer une contrainte pairwise où toutes les paires `(x, p)` et `(x’,p’) ` doivent être ainsi séparées ?
Il n'est pas idiot de penser que, ces plages d'incertitudes de volume `h` se composant librement et ne constituant pas des volumes parallélépipédiques rigides, vont s'adapter pour remplir tout l'espace disponible dans l'espace des phases. Ainsi, le seul volume globale qu'ils occupent dans l'espace des phases, divisé par le volume constant d'un état quantique, déterminera leur nombre. C'est le choix consensuelle actuelle en physique, on autorise en quelque sorte le recouvrement local tant que l'intégrale de volume est respecté.
On s'intéressent à l'ensemble des points `(x,p)` satifaisant les critères d'un état macroscopique. Et on calcul le nombre d'états microscopiques quantifiés c'est à dire le nombre d'états quantiques, en divisant le volume accessible dans l'espace des phases par le volume constant d'un état quantique.
Dans cet univers ainsi limité dans l'infiniment petit, l'état microscopique le plus détaillé correspond à l'état quantique du système.
Reprenons la description du modèle : Une particule dans un univers unidimensionnel de topologie circulaire de taille `L`, dans l'états macroscopique décrit par une énergie inférieure ou égale à `E_"max"` que l'on notera simplement par la lettre `bbbE`. Notez qu'aucune condition n'est posée sur le sense de la vitesse.
La somme intégrale des points possibles `(x,p)` satisfaisant l'état macroscopique, s'appelle le volume des possibilitées, le volume accessible ou le volume couvert dans l'espace des phases. La division de ce volume par `h` donnera le nombre d'état quantiques possibles.
L'impulsion de la particule est notée `p"="mv`. Dans ce modèle sans potentiel et ne comprenant qu'une particule, l'impulsion de la particule est une fonction de l'énergie totale du système `E` :
`E=1/2mv^2`
`E=p^2/(2m)`
`p^2=2mE`
`|p| = sqrt(2mE)`
L'impulsion maximale que l'on note `p_"max"` ou plus simplement `bbbp` est donc égale à
`bbbp= sqrt(2mbbbE )`
On en déduit que l'impulsion doit être comprise dans un intervalle :
`p in ["-"bbbp,bbbp ]`
Les positions possibles de `x` couvrent tout l'univers c'est à dire l'intervalle `[0,L]`, et sont indépendantes des impulsions possibles `p"="mv` qui couvrent l'intervalle `["-"bbbp,bbbp ]`. Le volume parcouru dans l'espace des phases par tous les états microscopiques possibles est donc `2Lbbbp`.
`int_(x=0)^L int_(p=-bbbp)^(bbbp) dxdp = (int_(x=0)^L dx)(int_(p=-bbbp)^(bbbp) dp) = 2Lbbbp`
Le nombre `N` d'états quantiques distincts est considéré comme égale au rapport du volume couvert dans l'espace des phases divisé par le volume d'un état quantique qui vaut par principe `h`.
`N=(2Lbbbp )/h`
`N= (2Lsqrt(2mbbbE))/h`
L'entropie est le logarithme du nombre d'états quantiques possibles satisfaisant l'état macroscopique. Le logarithme est en base `2` si on veut exprimer l'entropie en nombre de bits. Elle représente alors à la quantité d'information notée `S`.
`S=log(N)`
`S = log(2sqrt(2mbbbE)L/h)`
`S = 3/2- log(h)+log(L)+1/2log(m)+1/2log(bbbE)`
`S = log((2Lbbbp )/h)`
`S = 1+log(L)+log(bbbp) - log(h)`
On calcule l'énergie `bbbE` en fonction du nombre d'états quantiques d'énergie inférieure ou égale à `bbbE` :
`N=(2Lsqrt(2mbbbE))/h`
`bbbE= (N^2h^2)/(8mL^2)`
`bbbp"= sqrt(2mbbbE)`
`bbbp = (Nh)/(2L)`
Le premier niveau d'énergie correspond à un seul état quantique possible :
`bbbE_0= h^2/(8mL^2)`
`bbbp" = h/(2L)`
Dans un gaz parfait, la température est proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des particules. Un zepto joule par particule vaut environ 48.3 kelvin (voir Théorie cinétique des gaz). Cet état quantique correspond à la température la plus froide possible, et tend vers zéro kelvin lorsque `L` ou `m` grandissent.
Cet unique état quantique est caractérisé par son volume `h` dans l'espace des phases. C'est un parallélépipède que l'on décrit en prenant le point central `(x,p)"="(0,0)` et de largeurs `(Deltax, Deltap) "=" (L,h"/"L)`, où plus exactement c'est une bande dans la quelle on a relié les deux bouts, puisque l'espace `L` est ainsi relié :
`x = 0±L/2`
`p = 0±h/(2L)`
A ce premier niveau, il n'y a pas de sense de déplacement de la particule. La particule utilise les deux sens de déplacement. Par contre, la position centrale que nous avons choisi est arbitraire, puisque la position décrite par l'état quantique couvre tout l'espace `L`, et que cet espace est circulaire, il n'y pas de centre ou plus exactement toute position joue le rôle de point central. Puis, comme il n'y a qu'un seul état quantique, il n'évolue pas. Y-a-t-il une dissymétrie causée par la position de l'observateur du fait que l'incertitude sur l'énergie est inversement proportionelle à l'incertitude sur le temps impropre de la particule qui constitue le temps propre de l'observateur ? Non, car il y a une relation symétrie entre la particule et l'observateur, la même situation s'applique à l'observateur qui constitue une seconde particule dans un état quantique d'énergie minimale observée par la première particule (ou dit autrement, dans le référentiel associé à la première particule). L'étude sera approfondie lorsque l'on traitera des gaz parfaits à 2 particules.
Le second niveau d'énergie correspond à 2 états quantiques possibles :
`bbbE_1= (h^2)/(2mL^2)`
`bbbp = h/L`
L'espace des phases correspond à un rectangle de longueur `L` et de largeur `2bbbp`. Ce sont les états `(x,p)` vérifiant :
`x in [-L/2,L/2]`
`p in [-h/(2L),h/(2L)]`
Il y a deux façons les plus simples pour découper l'espace des phases accessibles en deux surfaces de taille `h` . Soit on le coupe en deux en prenant la ligne de coupure `x"="0` ou soit on le coupe en deux en prenant la ligne de coupure `p"="0`.
Dans le premier cas on connait la position de la particule, qui se trouve soit dans l'intervale `["-"L"/"2,0]` ou soit dans l'intervale `[0,L"/"2]`. Les deux états quantiques ont une même énergie. Se pose alors la question de savoir en combien de temps passons-nous d'un état quantique à l'autre.
Dans le second cas on connait le sens de la vitesse `p>=0` ou bien `p<=0`, mais par contre on ne connait pas la position. Le simple fait de connaître le sens de déplacement, nous enlève la possibilité de définir deux positions distinctes pour la particule.
Le troisième niveau d'énergie correspond à 3 états quantiques possibles :
`bbbE_2= (9h^2)/(8mL^2)`
`bbbp" == (3h)/(2L)`
L'espace des phases correspond toujours à un rectangle de longueur `L` et de largeur `2bbbp`. Ce sont les états `(x,p)` vérifiant :
`x in [-L/2,L/2]`
`p in [-(3h)/(2L),(3h)/(2L)]`
Si on découvre le sens de déplacement de la particule, alors l'espace des phases doit changer de taille pour contenir un nombre paire d'états quantiques, chaque sens de déplacement devant avoir pour des raisons de symétrie un même nombre d'états quantiques possibles. I'espace des phases doit soit diminuer pour contenir 2 états quantiques décrit précédement ou soit augmenter pour contenir 4 états quantiques comme décrit point au suivant.
Si on ignore le sens de déplacement de la particule, il y a une façon simple de découper l'espace des phases en trois surfaces de taille `h`. On coupe en prenant comme ligne de coupure `x"=-"(2"/"3)L` et `x"="(2"/"3)L`
Les trois états quantiques ont alors pour des raison de symétrie une même énergie. Se pose alors la question de savoir quelles sont les transitions d'états qui s'oppèrent, et si le sense de déplacement se révèle, le changement d'énergie que cela engendre.
Nous nous posons ici l'une des questions toutes premières sur comment quantifier l'action afin de rendre fini la quantitée d'informations d'un système physique. Il est alors utile de poser la même question mais dans le cas relativiste préalablement démontré, et de commencer par le cas le plus simple, une relativité restreinte totale... celui d'un photon. La difficulté vient que nous n'avons pas de modèle d'univers unidimensionnel finie relativiste évident sous la main. Une possibilité parmi les plus simples semble consister en un cercle de Möbius : On relie les deux bout du segment d'espace en inversant à la fois le temps et l'espace.
Avec le photon, le principe d'incertitude est mis en exergue à la vue de tous dans la formule même de l'énergie du photon `E= h nu`, la fréquence `nu` étant l'inverse de l'intervalle de temps correspondant à la période de l'onde lumineuse associée au photon. Nous explorerons cette voie dans la troisième partie.