Le deuixème cas le plus simple est celui d'une particule placée dans un puit de potentiel.
Comme nous ne voulons utiliser que des fonctions analytiques, la forme la plus simple d'un puit de potentiel est la parabole, une énergie potentielle égal à `x^2`. Et cela correspond à la définition d'un oscillateur. La force qui dérive du potentiel est nulle au point zéro. Elle est centripète. Et il croit linéairement selon l'éloignement comme si la particule était attachée par un ressort au point zéro.
La conservation de l'énergie découle du fait que la force dérive d'un potentiel, c'est pourquoi ce modèle est loin d'être arbitraire ni fantaisiste. L'énergie se décompose en une énergie cinétique et une énergie potentielle :
`E = 1/2mv^2 + x^2`
`E = 1/2m(dx^2)/(dt^2) + x^2`
On demande à ChatGPT de résoudre cette équation différentielle comme suit :
Trouve la fonction x(t) qui vérifie l'équation différentielle E=(1/2)mx'(t)^2+x(t)^2
Et il donne la solution suivante où `alpha` est une constante arbitraire appartenant à `[0,2pi[` :
`x(t) = sqrt(E) sin( sqrt(2/m)t-alpha )`
Dans la littérature scientifique, on va tout de suite définir les états stationnaires et calculer leur énergie précise. Nous n'allons pas procéder de cette façon mais de la même façon que précédement. On calcul le volume accessible dans l'espace des phases, et on divise par `h`.
La position `x` varie de `"-"sqrt(E)` à `sqrt(E)`. La particule ne peut pas sortir du puit de potentiel. La vitesse `v` dépend de `x` et de `E` :
`E=1/2mv^2+ x^2`
`E-x^2=m/2v^2`
`v^2= 2/m(E-x^2)`
`v= "sign"(x) sqrt(2/m)sqrt(E-x^2)`
On préfère utiliser l'impulsion qui est le produit de la vitesse par la masse `p"="mv` et qui constitue un invariant newtonien :
`E=1/2mv^2+ x^2`
`E=(p^2)/(2m)+ x^2`
`p^2=2m(E-x^2)`
`p = "sign"(x) sqrt(2m(E-x^2))`
L'impulsion `p` est liée à la position `x`. Chaque point `(x,p)` correspond à un état microscopique possible. Les points possibles `(x,p)` parcourt une ligne courbe. Pour qu'il y ait un volume qui ne soit pas réduit à une fine trajectoire, il faut considérer un intervalle d'énergie. On considère l'intervalle `[0,bbbE]` où `bbbE` représente une énergie maximale. Avec cette condition que `E "∈" [0,bbbE]` l'ensemble des états microscopiques possible, c'est à dire des poins possibles `(x,p)`, couvre un volume dans l'espace des phases. On calcule ce volume en procédant à une somme intégrale en `x` et en `p`.
Pour chaque valeur de `x "∈" ["-"sqrt(bbbE),sqrt(bbbE)]`, on calcul les valeurs possibles de l'énergie :
`E in [x^2,bbbE]`
Et on en déduit les valeurs possibles de l'impulsion en distinguant le cas où `x"⩾"0` et le cas ou `x"⩽"0`.
`(x "⩾" 0) => p "∈" [0,sqrt(2m(bbbE-x^2))]`
`(x "⩽" 0) => p "∈" ["-"sqrt(2m(bbbE-x^2)),0]`
Le volume accessible s'obtient alors en sommant deux doubles intégrations qui sont de même valeurs car symétriques :
`int_(x=-sqrt(bbbE))^0 int_(p=-sqrt(2m(bbbE-x^2)))^0 dxdp`
`int_(x=0)^(sqrt(bbbE)) int_(p=0)^(sqrt(2m(bbbE-x^2))) dxdp`
On demande à ChatGPT de calculer cette double intégrale comme suit :
Calcul la double intégrale suivante où E est un paramètre positif :
sum_(x=0)(x=sqrt(E)) sum_(p=0)^(p=sqrt(2m(E-x^2))) dx dp
Et il donne la solution suivante :
`int_(x=0)^(sqrt(bbbE)) int_(p=0)^(sqrt(2m(bbbE-x^2))) dxdp = pi/4bbbEsqrt(2m)`
Le nombre `N` d'états quantiques distincts d'énergie inférieure ou égale à `bbbE` s'obtient en divisant ce volume couvert par les états microscopiques possibles dans l'espace des phases, par le volume d'un état quantique qui vaut par principe `h` :
`N=(hpi)/4bbbEsqrt(2m)`
L'entropie exprimée en bits est le logarithme en base 2 de `N` :
`Q=log(N)`
`Q=log((hpi)/4bbbEsqrt(2m))`
`Q=log(h)+log(pi) - 2 + log(E) +1/2log(m)`
On peut alors calculer l'énergie `bbbE` en fonction du nombre d'états quantiques d'énergie inférieure ou égale à `bbbE` :
`N=(hpi)/4bbbEsqrt(2m)`
`bbbE=4/(pi h)N/(sqrt(2m))`
Le premier niveau d'énergie ne comprent qu'un seul état quantique possible.
`bbbE_1= 4/(pi h sqrt(2))1/sqrt(m)`
Et les niveaux suivants sont des multiples de celui-ci.
---- 13 février 2026 ----