Dans le cadre où les effet de retard de champ n'interviennent pas, ce qui est le cas ici. On suppose que forces gravitationnelles dérivent d'un potentiel. Et donc, le travail des forces gravitationnelles s'exerçant sur une particule ne dépend pas du chemin parcouru par la particule mais juste du potentiel gravitationnel du point de départ et du potentiel gravitationnel du point d'arrivé. Voir Le signal - Chapitre 23
La force `vec F` qui s'exerce sur une particule est, par définition de la dynamique, la dérivé de sa quantité de mouvement `vec p` selon le temps :
`vec F"=" d vecp "/"dt`
Et il est possible de l'écrire sous forme d'égalité d'éléments différentiel :
`vec Fdt"=d vecp`
Car ces éléments différentiel que sont `dt` et `d vecp` sont également des variables d'états, et sont donc parfaitement définies. `dt` désigne le minuscule intevalle de temps qui correspond à l'écoulement du temps du système, une période d'une raie d'émission qui sert d'horloge du système. `d vec p` désigne une minuscule variation de la quantité de mouvement qui a lieu durant cette minuscule période. La formule indique que la force `vec F` durant une minuscule période `dt` va faire une minuscule variation de la la quantité de mouvement `dvec p`.
Si toutes les particules ont des vitesses minuscule par rapport à `c`, il n'est pas nécessaire d'introduire la relativité restreinte dans le modèle et on pourra utiliser directement la formule classique :
`vec Fdt"="m veca`
Où `vec a` est l'accélération. On peut ainsi traité de la relativité générale sans faire intervenir la relativité restreinte.
Dans le cas d'un photon soumis à une force gravitationnelle c'est la règle en relativité restreinte qui s'applique, `vec F"="d vecp"/"dt`. Le phtoton suit toujours la trajectoire la plus courte et toujours à la vitesse constante `c`, seul sa masse change selon la formule d'Einstein `E=mc^2`. Considérons un photon d'énergie `E_1` et de masse `m_1=E_1"/"c^2` placé dans un lieu de potentiel de gravité `P_1`. Lorsque ce photon passe d'un lieu de potentiel de gravité `P_1` sur un lieu de potentiel de gravité `P_2`, les forces de gravité vont effectuer un travail.
Si on prend comme hypothèse que les forces gravitationnelles dérive bien d'un potentiel, alors on peut conclure ce qui suit : Le tavail de la force gravitationnel sur le photon va modifier son énergie cinétique et celui-ci aura une énergie `E_2` et une masse `m_2=E_2"/"c^2`. L'énergie potentiel gravitationnelle varie de `(m_2P_2-m_1P_1)` et donc l'énergie cinétique varie de `-(m_2P_2-m_1P_1)` et représente le travail des forces de gravité sur le photon.
`E_2 = E_1- (m_2P_2-m_1P_1)`
`hnu_2-hnu_1= - (hnu_2)/c^2P_2 + (hnu_1)/c^2P_1`
`nu_2(1+P_2/c^2) = nu_1(1+P_1/c^2)`
`r = nu_2/nu_1 = (1+P_1/c^2)/(1+P_2/c^2)`
Notez que ce rapport est valable quelque soit la fréquence du photon initiale `nu_1` : Ainsi le rapport `r = nu_2"/"nu_1` indique combien de fois plus vite s'écoule le temps à l'endroit où le potentiel de gravité est `P_2` par rapport à l'endroit où le potentiel de gravité est `P_1`.
La mesure du temps la plus précise qui est faite actuellement par les horloges atomiques consiste grosso-modo à compter les périodes d'une raie d'émission. Les atomes dans un processus laser émettent continûment des photons tous en phase et de fréquence d'une précision extrême qui donne ainsi une mesure fiable de l'écoulement du temps. Une fréquence deux fois plus rapide dénote un écoulement du temps deux fois plus rapide.
Proche d'une masse importante le potentiel de gravité devient bas. Eloigné de toute masse le potentiel de gravité devient haut. Un observateur se trouvant dans un lieu de potentiel de gravité plus haut que celui de la source percevra ses photons émis, décalés dans le rouge, car le photon, pour parvenir à l'observateur, va perdre de l'énergie. L'observateur percevra la source ralentie, ce qui ne pourra s'expliquer que par le fait, qu'à la source le temp s'écoule moins vite.
Et réciproquement, un observateur se trouvant dans un lieu de potentiel de gravité plus bas que celui de source percevra ces photons émis, décalés dans le bleu, car le photon, pour parvenir à l'observateur, va emmagasiner de l'énergie. L'observateur percevra la source accélérée, ce qui ne pourra s'expliquer que par le fait qu'à la source le temp s'écoule plus rapidement.
Cela entraine que le temps s'écoule plus lentement dans les lieux où le potentiel de gravité est inférieur, et plus rapidement dans les lieux où le potentiel de gravité est supérieur. La vitesse d'écoulement du temps représentée par la fréquence `nu` est proportionnelle à `1"+"P"/"c^2`. Si on prend comme temps de référence celui qui s'écoule dans un endroit de potentiel gravitationnel nul, alors dans le cas où `P=-c^2`, le temps s'arrête, `nu"="0`. Cela correspond à la définition du trou noir.
En calculant les périodes au lieu des fréquence on obtient :
`dt_1/dt_2 = (1+P_1/c^2)/(1+P_2/c^2)`
Si on prend comme temps de référence `dt` celui qui s'écoule dans un endroit de potentiel gravitationnel nul, alors le temps dilaté `d tau` par le potentiel gravitationnel est :
`d tau = 1/(1"+"P/c^2)dt`
Mais la description de ce phénomène de relativité générale est faite dans un cadre où n'intervient pas la relativité générale. Aussi il convient de tirer les conclusions de ce résultat, une dilatation du temp, qu'il convient de réintroduire dans le calcul même de cette dilatation pour obtenir un résultat plus précis.
`d tau = gamma dt`
`gamma =1/(1"+"P/c^2)`
Les équations de la dynamique sont alors modifiés en introduisant une dépendance au potentiel de gravité. En première aproximation, la modification consiste à remplacer `dt` par `d tau` dans les équations. Si on positionne les particules et leur déplacement sur l'axe des `r`, les forces, accelerations, vitesses, déplacements, et quantités de mouvement, sont des valeurs scalaires signées, les équations de la dynamiques deviennent :
`vec F = (d vec p)/(d tau)`
`dE = vec F.dvec r`
La première équation indique comment la force va modifier la quantité de mouvement de la particule au cours d'un intervalle du temps local `d tau`. La seconde équation indique comme la force va modifier l'énergie cinétique de la particule au cours de son déplacement `dvec r`.
Dans notre approche génésique de la relativité générale, on est amené à calculer une dilatation gravitationnelle du temps à partir d'un modèle physique sans cette dilatation. Le modèle s'en trouve changé et nécessite de recalculer cet effet de dilatation gravitationnelle du temps en tenant compte de la première approximation du calcul de dilatation gravitationnelle du temps.
Mais qu'en est-il des distances ? N'y aurait-il pas également une dilatation des distances ? Le temps et la distance sont de même nature en relativité restreinte, c'est pourquoi nous envisagerons le cas où la dilatation s'applique nous seulement au temps mais aussi aux trois autres composantes d'espaces. Ainsi, prêt d'un astre massif, le potentielle de gravité devient très bas proche de `-c^2`, l'intervalle de temps entre deux tic-tac (c'est à dire l'étalon de temps) devient gigantesque. S'il en est de même pour les étalons de distance, alors l'astre massif ressemblera à un sac dont le volume évaluée de l'intérieur serait bien plus grand que son volume évaluée de l'extérieur, ce qui semble être l'image actuelle que nous avons de ce phénomène.
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Si on garde toujours comme hypothèse que les forces gravitationnelles dérivent d'un potentiel, alors on reprendre le même calcul que précédement, seul les potentiels `P_1` et `P_2` auront changés puisque leur calcul devra tenir compte de la dilatation de l'espace. (On peut alors justifier la dilatation de l'espace par la nécessité de concerver le flux du champs de gravité. Le temps ralentissant près d'un astre, le flux est moindre mais l'espace se dilatant d'autant, le flux qui occupe tout l'espace retrouve sa valeur initiale.). Le potentiel de gravité `P` est fonction de `r`. On définit le neurones suivants :
`P←r`
`P(r)=-(GM)/(gamma r)`
Mais comme `gamma` n'est pas constant, la distance `r` n'est plus correcte. On considère qu'une modification de l'espace c'est produite en multipliant chaque portion `dr` du trajet le plus court par `gamma=1"/"(1"+"P"/"c^2)`. On procède ainsi à une étape d'approximation. On intégre `gammadr` pour obtenir une distance approximée `r_"new"`
`r_"new" = int_(R)^(r)gammadr`
`r_"new" = int_(R)^(r) 1/(1"+"(P)/c^2)dr`
Où `P` est le potentiel de gravité classique calculé sur la distance classique `r`.
`r_"new" = int_(R)^(r) 1/(1 - (GM)/(r c^2))dr`
`r_"new" = - GM(ln(R)-ln(r))/c^2`
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Il convient d'abord de bien poser les équations de la dynamique dans un espace où l'étalon de temps et de distance dépend du potentiel de gravité. Dans un lieu de potentiel de gravité `P`, l'élément différentiel de temps doit être multiplié par :
`gamma = 1/(1"+"P/c^2)`
Le travail de la force de gravité s'en trouve modifié. Prenons notre exemple simple d'une planète de masse `M` et de rayon `R` placée dans le vide. Si on positionne les particules et leur déplacement sur l'axe des `r`, les forces, accelerations, vitesses, déplacements, et quantités de mouvement, sont des valeurs scalaires signées, les équations de la dynamiques deviennent :
`F= (dp)/(d tau)`
`dE = F.dr`
La trajectoire de la particule se situe sur l'axe des `r`, une trajectoire verticale selon une ligne de champ et qui constitue bien un plus court chemin. Le calcul du travail des forces de gravité dans le cas d'un photon se déplaçant à la vitesse `c` de la position `r_1"="R` jusqu'a la position infini `r_2"="oo`, en suivant une trajectoire verticale selon une ligne de champ et qui constitue bien un plus court chemin. En cours de route, le photon a les caractéristiques suivantes : l'instant `t`, la position `r`, la fréquence `nu`, l'énergie cinétique `E`, la masse `m`, et le potentiel de gravité `P`. Le photon s'éloigne de la planète à une vitesse `c`. Il parcourt une distance `dr` en un instant `gamma dt`.
`P=-GM"/"r`
`dr=c gamma dt`
L'énergie `E`, la fréquence `nu`, la masse `m`, la position `r`, et le potentiel gravitationelle `P`, évoluent en fonction du temps `t`. On définit les neurones suivants :
`E←t`
`nu←t`
`m←t`
`r←t`
`P←t`
`gamma←t`
La position initiale du photon est caractérisée par : `t_1, r_1, nu_1,E_1, m_1,P_1,gamma_1`. Et sa position finale est caractérisée par : `t_2, r_2, nu_2, E_2, m_2,P_2,gamma_2`
`t_1=0`
`r_1=R`
`P_1=-GM"/"R`
`gamma_1=1/(1+P_1/c^2)`
`t_2=oo`
`r_2=oo`
`P_2=0`
`gamma_2=1`
Le photon subit une force, avec un signe moins car centripète, qui effectue le travaille `dE = Fdr`
`F=-(GmM)/r^2`
`dE=-(GmM)/(r^2)dr`
`dE` est bien une énergie négative de travail des forces puisque diminuant l'énergie cinétique `E`. La variations de l'énergie `E` entraine une variation de la masse `m`
`(dE)/(c^2)=-(GmM)/(c^2r^2) dr`
`dm = -(GmM)/(c^2r^2) dr`
`(dm)/m = - (GM)/(c^2)(dr)/(r^2)`
`int_(m_1)^(m_2) (dm)/m = - (GM)/(c^2) int_(r_1)^(r_2)(dr)/(r^2)`
`ln(m_2) - ln(m_1) = - (GM)/(c^2) int_R^oo(dr)/(r^2)`
`ln(m_2) - ln(m_1) = - (GM)/c^2 1/R`
`ln(m_2/m_1)= - (GM)/(Rc^2)`
`m_2/m_1=e^(-(GM)/(Rc^2))`
`((hnu_2)/c^2)/((hnu_1)/c^2)m_1=e^(-(GM)/(Rc^2))`
`nu_2/nu_1 = e^(-(GM)/(Rc^2))`
`nu_2/nu_1 = e^(P_1/c^2)`
Si on développe en séries :
`nu_1/nu_2 = 1 + P_1/c^2 + P_1^2/(2c^4) + O(P_1^3/c^6)`
Si la dilatation concerne les dimensions d'espace également, alors d'après le résultat intermédiaire `nu_2"/"nu_1``=``e^(-GM"/"Rc^2)`, on remplace `R` par `gammaR` celui-ci devient :
`nu_2/nu_1=e^(-(GM)/(gammaRc^2))`
`nu_2/nu_1 = e^((GM)/(R(1"+"P_1/c^2)c^2))`
`nu_2/nu_1 = e^(P/((1"+"P_1/c^2)c^2))`
Si on développe en séries :
`nu_1/nu_2 = 1 + P_1/c^2 - P_1^2/(2c^4) + O(P_1^3/c^6)`
Et le développement de `sqrt(1+2P/c^2)` vaut également ce développement pour les trois premier termes. Nous nous alignons donc sur ce que la théorie actuelle propose.
Précément nous n'avons pas eu besoin
---- 7 août 2024 ----