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1. Introduction

 

2. Dynamique

La relativité restreinte modifie la loi de la dynamique : La force totale `vec F` qui s'exerce sur une particule est égale à la variation de sa quantité de mouvement

`vec F= (d vec p)/dt`

Les forces s'ajoutent. La différence avec la mécanique classique est que la contribution de la masse de la particule, dans la quantité de mouvement ainsi que dans l'énergie cinétique, est multipliée par un facteur gamma, `gamma`, fonction de la vitesse de la particule (voir partie 1.5) :

`vec p = gamma m vec v`

`E = (gamma m) /c^2`

`gamma = 1/ sqrt(1-(v^2)/(c^2))`

Où `m` est la masse au repos de la particule. On pose `beta=v/c` et nous avons :

`gamma = (1-beta^2)^(-1/2)`

`gamma^-2 = 1-beta^2`

`gamma^2(1-beta^2)=1`

3. Adaptation du modèle pour passer de la mécanique classique à la relativité restreinte

Tous les calculs se font dans un même référentiel, et la masse `m` des particules dépendent de leur vitesse `v` et leur masse au repos `m_0`. On modifie seulement dans le modèle, le calcul de l'accélération `vec a` à parir de la force `vec F` et de la vitesse `vec v`.

4. Calcul de l'accélération

On utilise des règles suivantes sur les différentielles. Quelque soit les variables d'état `U,V`, et la constantes `k`, nous avons :

`d(k) = 0`
`d(U+V) = dU+dV`
`d(kU) = kd(U)`
`d(UV) = VdU+UdV`
`d(U^k) = kU^(k-1)dU`

Quelque soit les variables d'état vectorielles `vecA, vecB`, nous avons :

`d(vecA"·"vecB) = vecB"·"dvecA+vecA"·"dvecB`
`d(A^2)=d(vecA"·"vecA) = 2vecA"·"dvecA`

Le calcul de l'accélération :

`vec Fdt= d vec p`
`vec Fdt= d(m vec v)`
`vec Fdt= vec v dm + m d vecv`
`vec Fdt= vec v dm + m veca dt`

 

`dm=d(gamma m_0)`
`dm=m_0d(gamma)`
`dm=m_0d((1-beta^2)^(-1/2) )`
`dm=-1/2m_0(1-beta^2)^(-3/2)d(1-beta^2)`
`2dm=-m_0gamma^3d(1-beta^2)`
`2dm=m_0gamma^3d(beta^2)`
`2dm=m_0gamma^3 d(v^2"/"c^2)`
`2c^2dm=m_0gamma^3 d(vecv"·"vecv)`
`2c^2dm=2m_0gamma^3vec v"·"dvec v`
`c^2dm=m_0gamma^3vec v"·"dvec v`
`c^2dm=m_0gamma^3vec v"·"vec a dt`

On décompose l'accélération en la composante `vec a_"∥"` parallèle à la vitesse et la composante `vec a_"⟂"` perpendiculaire à la vitesse :

`vec a=vec a_"∥"+vec a_"⟂"`

cela permet de développer le produit scalaire :

`c^2dm=m_0gamma^3vec v"·"vec a dt`
`c^2dm=m_0gamma^3 v a_"∥" dt`

`vec Fdt= vec v dm + m veca dt`
`vec Fdt= vec v dm + m veca_"∥" dt + m veca_"⟂" dt`

`vec F_"∥"dt= vec v dm + m veca_"∥" dt`
`vec F_"⟂" dt= m veca_"⟂" dt`

---- 11 août 2024 ----