Le principe de moindre action, qui devrait s'appeller le principe d'action stationnaire, est une loi simple qui permet d'imposer la loi de la dynamique `F=dp"/"dt` par une contrainte globale sur la trajectoire. L'action doit toujours être stationnaire, cela signifie qu'elle n'est pas diminuée ou augmentée par de petites variations de la trajectoire.
Pierre Louis Moreau de Maupertuis énonce le principe de moindre action en 1744, démontré formellement par Euler quelque temps plus-tard. L'élément différentiel d'action notée `dA` est le produit de la quantité de mouvement par l'élément différentiel de déplacement :
`dA = p dl`
`dA = mv dl`
`dA = mv^2dt`
Où `dl` représente un élément différentiel de déplacement sur la trajectoire de la particule. La quantité de mouvement `vec p` et `vec dl` étant nécessairement parallèle, leur produit scalaire est égale au produit de leur norme. `v` représente la norme de la vitesse de la particule. La cinématique définie `dl` par l'égalité exacte suivante :
`vec dl=vec vdt`
Ce principe stipule que toute trajectoire modifiée de façon différentielle dans le respect des lois de la cinématique et la conservation de l'énergie totale, mais plus dans celle de la dynamique, possède une action stable c'est à dire telle que la différentielle d'action est nulle ou bien est du second ordre.
Considérons une particule en mécanique classique de masse `m` de position `vec x` de vitesse `vec v` d'accélération `vec a`, placé dans un champs de gravité qui n'évolue pas selon le temps `vec G`. La particule subit une accélération `vecG` et possède une énergie cinétique `E` qui ajouté à l'énergie potentiel `mG` donne une énergie total `E_"totale"` constante. Autrement dit :
`vec x ← t`
`vec v ← t`
`vec a ← t`
`vec F ← t`
`vec E ← t`
`vec G ← vec x``dvec x= vecv dt`
`dvec v = veca dt`
`vec a= vecG``E = mv^2"/"2`
`E+mG=E_"totale"`
L'action de la particule entre l'instant `t_1` et `t_2` est :
`A(t_1,t_2) = int_(t_1)^(t_2) mv^2dt = int_(t_1)^(t_2) mvdl`
Considérons une modification infinitésimale de la trajectoire qui respecte la cinématique et l'énergie totale. Pour respecter la cinématique, la modification va porter sur une accélération supplémentaire différentiel `d vec alpha`
`d vecalpha ← t`
La nouvelle trajectoire devient :
`vec ttx ← t`
`vec ttv ← t`
`vec tta ← t`
`vec ttF ← t`
`vec ttE ← t`
`vec ttG ← vec barx``dvec ttx= vec ttv dt`
`dvec ttv = vec tta dt`
`vec tta= vecG+ dvec alpha``ttE = mttv^2"/"2`
`ttE+mG=E_"totale"`
Pour respecter l'énergie totale, l'égalité `mttv^2"/"2+mG = E_"totale"` devra être toujours vérifiée.
L'énergie totale du système :
`E_"total" = 1/2mv^2 + mG`
On remarque alors que :
`E_"total"-mG = 1/2mv^2`
`2m(E_"total"-mG) = m^2v^2`
`sqrt(2m(E_"total"-mG)) = mv`
`A(t_1,t_2) = int_(t_1)^(t_2) mvdl = int_(t_1)^(t_2) sqrt(2m(E_"total"-mG)) dl = `
Ce principe stipule que toute trajectoire modifiée de façon différentielle tout en respectant les lois de la cinématique mais plus celle de la dynamique, c'est à dire où `vec x` et `vec v` sont modifiés par l'ajout d'éléments différentiels en respectant toujours l'égalité exacte `dvec x = vec v dt`, possède une action identique c'est à dire telle que la différentielle est nulle ou bien est du second ordre.
`dA = m v^2 dt`
---- 17 Août 2024 ---- *
La définition de l'action ayant pour but de remplacer la contrainte de la loi de la dynamique `F=dp"/"dt`
`dA=(1/2mv^2-(bbbGMm)/r^2)dt`
`A(t_1,t_2) = int_(t_1)^(t_2) (1/2mv^2-(bbbGMm)/r^2)dt`
par une contrainte global sur la trajectoire, elle est définit en faisant intervenir l'énergie cinétique `E` et l'énergie potentiel `mP`. La somme des deux est l'énergie totale. La différence des deux s'appelle le lagrangien, puis multiplié par `dt` elle produit la différentiel d'action notée `dA`
`dA=(E-mP)dt`