En utilisant les éléments différentiels exactes comme variables d'état du système, on rend plus facile la manipulation des équations cinématiques et dynamiques. Cela donne un sens intuitif plus libre et plus puissant aux équations que l'on peut imaginer, et que l'on peut ainsi explorer. On l'a vu avec le photon, le coeur de sa définition considéré comme exacte actuellement, se révèle d'une simplicité déconcertante avec l'introduction des éléments différentiels exactes de temps et d'énergie (qui représente l'énergie cinétique du photon).
La conservation de l'énergie totale qui se sépare en deux sortes d'énergie, l'énergie cinétique transportée par les masses en mouvement, et l'énergie potentielle associée aux masses placées dans un champs potentiel de gravité, se décrit simplement grâce aux différentiels.
D'où vient la définition de la force de gravité ? On traite la force de gravité comme une force dérivant d'un potentiel, hypothèse simple que nous faisons d'abord. Car les forces ne dérivant pas d'un potentiel traduisent une transformation de l'énergie cinétique en autre chose que l'énergie potentielle telle que le rayonnement, la dispertion d'énergie causée par des forces de frottement, etc.. Et c'est plus qu'une hypothèse, c'est ici considéré comme une première approximation. C'est pourquoi il y a une trés forte similitude entre la force de gravité et la force électrique.
On définit arbitrairement la force `vec F` comme le produit du champ `vec G` par la masse de la particule `m`, repportant la définition de la force gravitationnel sur le champ gravitationnel qui est un champ d'accélération :
`vec F"="m vecG`
La relativité générale pose comme principe qu'il n'y a pas de distinction locale entre un champ d'accélération dû à l'inertie (qui résulte d'un changemenent de référentiel accéléré), et un champ d'accélération dû à la gravité. On considère une masse `M` fixée à l'origine du référentiel, et une particule de masse `m` en position `vec r` avec une vitesse `vec v` et une accélération `vec a`. La distance de la source à la particule, notée `r`, vaut :
`r=||vecr||=sqrt(vecr"·"vecr)`
Le vecteur unitaire indiquant la direction de la source du champ vers la particule est :
`(vec r)/r`
La force est attractive, donc centripète, donc dans le sens de `-vecr`. Le champ est de même signe que la force :
`vec F = m vec G = - (vec r)/r (bbbGMm)/(r^2)`
`vec G = - vec (vec r)/r (bbbGM)/(r^2)`
Où `bbbG` est la constante gravitationnelle. Le champ de gravité ne dépend que de la source, et il est supposé se répandre instantanément dans l'espace. On va constater que le champ de gravité qui est un champ vectoriel, dérive d'un potentiel qui est un champ scalaire.
On utilise l'opérateur nabla, noté `vec nabla`, qui appliqué à un champ scalaire `P`, va produire un champ vectoriel correspondant au gradiant de `P`.
`vec nabla = ((del/(delx)),(del/(dely)),(del/(delz)))`
`vec "grad" P = vec nabla P = ((del/(delx)),(del/(dely)),(del/(delz)))P = (((delP)/(delx)),((delP)/(dely)),((delP)/(delz)))`
Où `x,y,z` désignent les coordonnées propre à notre référenciel où est évalué le champ scalaire `P`. La différentiel exacte `dvecr` représente une variation infiniment petite de la position de la particule. Elle constitue une variable d'état. Dés lors, la dérivé selon cette variable vectorielle `vecr` qu'est la position de la particule, possède une définition précise. L'opérateur de dérivée `d"/"dvecr` possède la définition suivante :
`d/(d vecr) = ((del/(del r_x)),(del/(del r_y)),(del/(del r_z)))` avec `vec r=((r_x),(r_y),(r_z))`
Et il s'agit d'égalités exactes, qui peuvent être utilisées telle quelle pour retrouver les développements limités.
---- 21 août 2024 ----
Le potentiel de gravité est un champ scalaire, noté `P`, engendré par la source :
`P = (bbbGM)/r`
Nous allons montrer que le champ de gravité est égale à l'opposée du gradient du potentiel :
`vec G = - vec grad P`
`vec G = - (((delP)/(delx)),((delP)/(dely)),((delP)/(delz)))`
On pose `vec r=((x),(y),(z))`
` (delP)/(delx) = (del((bbbGM)/r))/(delx) = (del((bbbGM)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))))/(delx) = (bbbGMx)/(r^3)`
On calcule les dérivées avec un logiciel de calcul formel, ou bien directement avec le site web https://fr.symbolab.com/solver/
`vec G = - (((bbbGMx)/(r^3)),((bbbGMy)/(r^3)),((bbbGMz)/(r^3)))`
`vec G = - (bbbGM)/(r^3)((x),(y),(z)) = - (bbbGM)/(r^3) vec r = - (vecr)/r(bbbGM)/(r^2)= - vec u(bbbGM)/(r^2)`
On est en mécanique classique, donc `m` est constant. On constate alors que la force s'obtient également en prenant le gradient de l'expression `mP` qui représente l'énergie potentielle comme on le montrera au chapitre suivant :
`vec F = vec grad (mP) = m vec grad (P) =mvec G`
Etant donné une force `F` s'exerçant sur une particule se déplaçant à la vitesse `vec v`. L'énergie cinétique de la particule est :
`E= 1/2mv^2`
Donc la différentielle `dE` est :
`dE = d(1/2 mv^2)`
`dE =m vec v"·"dvec v`
Comme la différentielle de la vitesse `dv"="adt` et que la force en mécanique classique est `F"="m veca`, nous avons :
`dE =m vec v"·"dvec v`
`dE =m vec v"·"vec a dt`
`dE = vec v"·"mvec a dt`
`dE = vec v"·"vecF dt`
`dE = vecF"·"vec v dt`
`dE = vecF"·"dvec r`
Où `dvec r` représente un déplacement infiniment petit. `dE` désigne une variation infiniment petite de l'énergie cinétique dont l'origine est le travail de la force. C'est pourquoi, l'élément différentiel de travail de la force se note `dE`, et qu'il est défini par chacune des formules précédentes. Dans le cas d'une force `vec F`
`vec F = - (vec r)/r (bbbGMm)/(r^2)`
Montrons que l'expression `E"+"mP` est constante , et donc constitue l'énergie totale. Si l'expression `E"+"mP` est constante alors sa variation doit être nulle :
`d(E"+"mP)=d(E)+md(P)`
`d(E"+"mP)=vecF"·"dvec r + md((bbbGM)/r)`
`d(E"+"mP)=vecF"·"dvec r + bbbGMmd(1/sqrt(vecr"·"vecr))`
`d/(d vec r)(E"+"mP)=vecF"·"(dvec r)/(d vec r) + bbbGMm d/(dvec r)(1/sqrt(vecr"·"vecr))`
`vec nabla (E"+"mP)=vecF- bbbGMm (vec r)/(sqrt(vecr"·"vecr)^3) = vec 0`
`d/(d vec r)(E"+"mP)=vecF"·"(dvec r)/(d vec r) + bbbGMm d/(dvec r)(1/sqrt(x^2+y^2+z^2))`
`d(E"+"mP)=vecF"·"dvec r + bbbGMmd(1/sqrt(x^2+y^2+z^2))`
`vec r=((x),(y),(z))` `dvecr=((dx),(dy),(dz))`
`d/(d vec r)(E"+"mP)=vecF"·"(dvec r)/(d vec r) + bbbGMm d/(dvec r)(1/sqrt(x^2+y^2+z^2))`
`d/dx (E"+"mP)=vecF"·"(d/dx vec r) + bbbGMm d/dx (1/sqrt(x^2+y^2+z^2))`
`d/dx (E"+"mP)=F_x - bbbGMmx/(r^3)`
`d/dy (E"+"mP)=F_y - bbbGMmy/(r^3)`
`d/dz (E"+"mP)=F_z - bbbGMmz/(r^3)``vec nabla (E"+"mP)=vecF- bbbGMm (vec r)/(r^3) = vec 0`
----- 20 août 2024 ----
L'élément différentiel de travail `dE` de la force qui augmente l'énergie cinétique de la particule se définit comme suit :
`dE= vecF"·"vec v dt` avec `dE= d(1/2 mv^2)=m vec v"·"dvec v`
Comme la force en mécanique classique est `F=m veca`, le travail de la force s'écrit :
`dE= m vec a"·"vec v dt`
`dE= m (dvec v)/(dt)"·"vec v dt`
`dE= m vec v"·"dvec v`
Les forces s'ajoutent et les accélérations aussi. Si la force est dans le sens de la vitesse de la particule, elle va augmenter cette vitesse et donc augmenter son énergie cinétique `E`. On dira que le travail de la force apporte une énergie cinétique à la particule. C'est pourquoi on note l'élément différentiel de travail de la force `dE`. Lorsque la force est dans le sens opposé de la vitesse, elle va diminuer cette vitesse et donc diminuer son énergie cinétique `E`. Et lorsque la force est perpendiculaire à la vitesse, le travail de la force est nulle.
L'énergie potentiel `mP` ajoutée à l'énergie cinétique `mv^2"/"2` donne l'énergie totale du système qui est constant car isolé.
`mP+1/2mv^2= E_"totale"`
`P = E_"totale"/m - v^2 `
Donc la différentielle de l'énergie potentielle est égale à :
`dP = d(v^2)`
`dP = 2vec v"·"dvec v`
Et comme le travail de la force `dE = m vec v"·"dvec v = mvdv`
------ 19 août 2024 -----
Le champ potentiel est `bbbGM"/"r`. On ne traite pas du retard de transmission du champ, on considère donc qu'il se propage instantanément dans tous l'espace autour de la source. On est amené à définir un flux du champ. Les descriptions deviennent vite d'une grande complexité lorsque l'on intègre sur un volume, mais lorsque l'on reste à l'échelle de l'élément différentiel, les équations locales restent simple.
La force décroit inversement avec le carré de la distance. La distance dont-il s'agit est celle entre la source de la force et la particule soumise à la force. Cette décroissance correspond à la dispersion du flux du champ de gravité. On est dans le cas d'une symétrie sphérique, et lorsque on s'éloigne de la source à la distance `r`, on se place sur une sphére de rayon `r` dont la surface croit proportionnellement à `r^2`. D'où l'idée d'expliquer la décroissance de la force par la dilution du champ sur la surface de la sphère, et ainsi opter pour un principe de conservation du flux du champ.
La conservation du flux du champs `vec G` se traduit par l'équation suivante :
`vec nabla "·"vec G = (del G_x)/(del x)+(del G_y)/(del y)+(del G_z)/(del z) = 0`
On utilise l'opérateur nabla, noté `vec nabla`, et on effectue le poduit scalaire avec le champ `vec G`
`vec nabla = ((del/(delx)),(del/(dely)),(del/(delz)))` `vec G = ((G_x),(G_y),(G_z))`
L'énergie potentielle d'une particule placée dans un lieu de potentiel `P` est définie comme étant le travail à fournir pour transporter cette charge depuis l'infini jusqu'à la position ou le potentiel est `P`.
Elle vaut `mP`
On est en symétrie sphérique et on se déplace uniquement sur l'axe des `r`. La force `F`, la vitesse `v` et les déplacements `dr` sont signés. Ils sont positifs s'ils vont dans le sens de l'accroissement de `r`, et sont négatifs dans l'autre sens. La force est négative car attractive, donc centripète, le champ est de même signe que la force :
Champ de gravité : `G = - (bbbGM)/(r^2)`
Le champ de gravité ne dépend que de la source, et il est supposé se répandre instantanément dans l'espace.
Force de gravité : `F = - mG = - (bbbGMm)/(r^2)`
Où `bbbG` est la constante gravitationnelle. Dés lors on constate que le champ dérive d'un potentiel :
Potentiel de gravité : `P = (bbbGM)/r`
Champ de gravité : `G = (dP)/(dr) = (d((bbbGM)/r))/(dr) = - (bbbGM)/(r^2)`
On est en mécanique classique, donc `m` est constant. On constate alors que la force s'obtient également en dérivant selon `dr` une expression `mG` qui représente l'énergie potentiel :
`F = mG = m(dP)/(dr) = - m(bbbGM)/(r^2)`
Le résultat se généralise
Le champ est `bbbGM"/"r^2`. On ne traite pas du retard de transmission du champ, on considère donc qu'il se propage instantanément dans tous l'espace autour de la source. On est amené à définir un flux du champ. Les descriptions deviennent vite d'une grande complexité lorsque l'on intègre sur un volume, mais lorsque l'on reste à l'échelle de l'élément différentiel, les équations locales restent simple.
La conservation du flux du champs `vec G` se traduit par l'équation suivante :
`vec nabla "·"vec G = (del G_x)/(del x)+(del G_y)/(del y)+(del G_z)/(del z) = 0`
On utilise l'opérateur nabla, noté `vec nabla`, et on effectue le poduit scalaire avec le champ `vec G`
`vec nabla = ((del/(delx)),(del/(dely)),(del/(delz)))` `vec G = ((G_x),(G_y),(G_z))`
L'énergie potentielle d'une particule placée dans un lieu de potentiel `P` est définie comme étant le travail à fournir pour transporter cette charge depuis l'infini jusqu'à la position ou le potentiel est `P`.
Elle vaut `mP`
---- 17 août 2024 ----
L'élément différentiel d'action se définit comme suit :
`dA=Edt`
Comme l'énerge cinétique est `E=1/2 m v^2`, le travail de la force s'écrit :
`dA=1/2 m v^2dt`
`dA=1/2 m vecv·vecv dt`
`dA=1/2 m vecv·(dvec x)/dt dt`
`dA= 1/2 m vec v ·d vec x`
8) L'action
La force de gravité, comme l'ensemble de toutes les forces élémentaires, dérive d'un potentiel. Cela signifie qu'il existe un champ de potentiel de gravité qui lorsqu'on le dérive pour obtenir la plus grande pente, produit la force de gravité.
Le champ gravitationelle `P` généré instantanément par une particule de masse `M` décroit en `1/r`.
`P = - GM/r`
La dérivée selon l'espace de ce champ produit la force gravitationnelle
`vec F = - [((dP)/dx),((dP)/dy),((dP)/dz)] = - vec grad P`
Le travail de la force `dE = vec F.