Nous pensons qu'il existe un chemin de raisonnement permettant de découvrir les fondamentaux en physique sans nécessiter de capatités hors du commun. Les lois physiques fondamentales prennent vie à travers les modèles et leurs résolutions numériques. La programmation de modèles et la simulation que nous préférons appeler expérimentations exactes, constituent la deuxième face de la théorie, son aspect pratique en quelque sorte. Et la comparaison du modèle avec la réalité est appelé expérimentation réel. Elle constituent la troisième face de la théorie. La contribution devra contenir ces trois faces, la première face utilisera le langage du physicien, la seconde face utilisera le langage de programmation, la troisièmes face utilisera les éphémerides.
Le modèle est un système d'équations différentiels que l'on résoud numériquement de façon approchée par la méthode d'Euler. Cela met en oeuvre un calcul itératif qui dans la plus part des cas n'est qu'approché mais dont la précision peut être aussi grande que l'on veut. Notez que rien n'interdit qu'un calcul itératif puisse constituer la loi proprement dite, et donc être exacte.
La théorie seule ne suffit pas pour convaincre, car l'utilisateur final n'est pas en mesure de vérifier ni même d'en évaluer la pertinence. Le modèle permet à l'utilisateur final d'expérimenter. Il permet d'observer la cohérence de la théorie en vérifiant que dans les simulations, les propriétés attendues se réalisent bien. Et l'expérimentation réel, la comparaison avec la réalités donnera les preuves de la pertinence.
On appelle expérimentation exacte, le calcul du modèle par un ordinateur en essayant un certain nombre de conditions initiales et de paramètres. Par la seul expérimentation exacte, on peut tirer certains enseignements. Et cette science basée sur l'expérimentation du calcul de modèle a l'avantage d'être abordable par tous, et d'être transmissible par simple duplication. Elle peut donc constituer à elle seule un véhicule pour transmettre un argumentaire, autrement dit, un vecteur pour la propagande. Le modèle est programmé en JavaScript afin de pouvoir tourner sur un navigateur Internet libre et open source telle que Mozilla Firefox.
L'algorithme et la loi sont misent sur un même pied d'égalité. Ils sont transmis par copie, la copie d'une théorie et la copie d'un programme informatique. Cette dualité offre un mécanisme de vérification d'erreur de copie de haut-niveau, l'exécution du programme vérifiant les propriétés intrinsèques de la théorie. La charge de cette vérification revient à l'utilisateur final. Et selon la maxime de saint Thomas "Je ne crois que ce que je vois", la preuve n'est plus antérieur au programme, inévitablement soumise à la tentation d'appropriation et de rétention d'information de la part du concepteur, mais postérieur au programme, s'effectuant lors de l'exécution de celui-ci, sous l'entière responsabilité de l'utilisateur final qui satisfait ainsi à la maxime. L'expérimentation exacte se comporte alors comme un élément du démonstrateur de théorèmes, apportant au coup par coup les indices de vérité.
La théorie que nous exposons est la théorie de la gravitation de Newton. On l'accompagne d'un modèle, d'un algorithme, ou autrement dit, d'un programme informatique. Ce programme calcul numériquement de façon approchée la trajectoire de `N` particules en interaction gravitationnelle. Puis on le complète par un exemple réel appuyé sur les éphémérides qui donne une pertinence physique, non uniquement mathématique.
Nous développons donc de façon paralléle 3 langages :
Et pour éviter les erreurs de transcription et de recopie, ces trois langages devront avoir une large base commune, devront être similaires, et avoir des mécanismes de transcription simples.
Le sens physique que nous proposons développe 9 principes : un principe de causalité qui affirme que toute effet a une cause, un principe de finitude qui affirme que la quantité d'information est finie, un principe de relitivité qui affirme que les lois sont les mêmes dans tout référentiel, un principe de champ instantané c-à-d d'une transmission instantané sans rémanence de l'information, un principe analytique qui affirme que toutes les grandeurs de position et de force sont infiniment dérivables selon le temps et que leurs series de Taylor convergent en toute valeur du temps.... Puis un principe du temps commun, suivi des trois principes newtonniens : le principe d'inertie newtonien, le principe dynamique où les forces s'ajoutent, et le principe de l'équilibre entre les forces et les forces de réaction. On ajoute en suite, la loi de l'attraction universelle de Newton que nous allons modéliser.
1) Principe de causalité : « Toute effet a une cause »
Pour qu'un évènement ponctuel `A` influe un évènement ponctuel `B`, il est nécessaire qu'une information soit partie de `A` pour aller en `B`. On dit alors qu'il y a une prise de connaissance. Cet échange d'information qui joue un rôle déterminant est appelé le processus causal. Ce processus met en oeuvre un circuit de l'information partant des causes et allant sur les effets, formant des chaines causales, déterminant un sens du temps.
Le temps est à la base du processus causal, et réciproquement, le processus causal est sucesptible de définir le temps. Le principe de calculabilité épouse le principe de causalité en remplaçant la cause par le calcul et le temps par l'effectivité. Néanmoins le sens du temps reste une illusion entropique. Rien n'empêche qu'il y ait des chaînes causales macroscopiques dans les deux sens du temps, pouvant même se croiser..., même si nous n'avons jamais été témoin d'un tel phénomène.
Tout effet a une cause. Ce principe philosophique est un moteur essentiel dans la recherche en science exacte, car s'il n'y a pas de cause il n'y a pas à les rechercher. Dire qu'un effet est indéterminé signifie que sa cause est inconnue.
On ne peut pas être juge et partie prenante. Ce principe juridique coïncide avec le principe d'incertitude d'Heisenberg. Si l'observation perturbe l'expérience alors il n'est pas possible d'observer en tout indépendance, et de connaitre ce qui se serait passé si on n'avait pas observé. L'observation ne peut donc pas nous donner une connaissance exacte de l'expérience. Si on considère l'univers comme doué d'une conscience, il sera dans cette même situation, juge et partie prenante, et il ne pourra pas avoir une conscience exacte et complète de lui-même. La part indéterminée de l'univers découle de ce paradoxe.
2) Principe de finitude : « Toutes quantitées d'information est finie »
On ne peut pas diviser la matière indéfiniment sans à un moment donné, en changer sa nature. Et c'est en optant pour cette thèse, sa négation étant beaucoup trop contraignante pour la nature avec des conséquences beaucoup trop impondérables, que les Grecs ont défini abstraitement l'atome il y a environ 500 ans av J.-C. Ils ont ainsi posé le principe de finitude du nombre d'atomes d'un système physique.
Ce principe de finitude se généralise à l'information. Tout échange d'information est de quantité finie. L'état d'un système physique est une quantité d'information finie. Ce principe est nécessaire pour pouvoir remplacer la cause par le calcul.
On peut penser que l'information possède une masse minimum, et qu'une quantité d'information infinie possederait une masse infinie.
C'est de ce principe que l'on demontre la pertinence du concept de particule élémentaire aux propriétés extrêmement réduites telle que par exemple une masse quasi-ponctuelle de moment cinétique nulle.
3) Principe de relativité « Il n'y a pas de référentiel absolu, les lois sont les mêmes dans tous les référentiels »
Le principe d'inertie newtonien s'étend en un principe plus générale appelé principe de relativité galiléenne qui affirme que la loi s'exprime identiquement dans chaque référentiel inertiel, faisant qu'il n'existe pas de référentiel inertiel absolu, et donc qu'il n'existe pas de vitesse absolue. La loi ne discrimine pas les référentiels inertiel.
Pour appliquer ce principe, il faut définir ce qu'est un référentiel. Un référentiel est une situation où un observateur imaginaire peut se trouver. Le référentiel porte l'information nécessaire pour trancher, sous forme de choix, toutes les symétries existantes de l'univers, et détermine ainsi totalement la situation subjective dans la quelle se trouve l'observateur.
Il découle de la définition du référentiel et du fait que tout observateur constatera les mêmes lois physiques, que la loi est la même dans chaque référentiel.
On sépare ce qui est propre à la loi et ce qui est propre au système physique, c'est à dire les variables globales propres à la loi, appelées constantes universelles, et les variables locales au système physique. Les constantes universelles sont inchangées par changement de référentiel, ainsi que certaines variables d'état du système, et le système possède un référentiel propre.
4) Principe de transmission instantané sans rémanence de l'information
A partir du principe de finitude et du principe de causalité, on peut compléter les hypothèses sur le processus causal en optant pour un principe de transmission instantané et efficiente de l'information. Cela définie la mécanique classique avec un champ instantané.
Ce choix principiel supplémentaire va être fait en considérant que chaque particule possède la connaissance exacte de l'état des autres particules à son instant présent, entrainant le concept de champ instantané. Cest le principe de transmission instantané, et sans rémanence de l'information, car cette dernière agirait comme une composante de champ non instantané. Tout ce qui n'est pas instantané et transmis sous forme de particules et non sous forme de champ qui est par principe transmis instantanément.
La première partie de l'hypothèse affirme donc que l'information sur la position et les vitesses des particules est transmise de manière instantanée aux autres particules.
La seconde partie de l'hypothèse affirme qu'il n'y a pas de résurgence ni de rémanence du passé au niveau des particules, c'est à dire que les effets de cette information transmise instantanément ne sont pas différés dans le temps, l'information agit tout de suite.
Il s'en suit que la part déterministe de l'univers est déterminée par la connaissance de toutes ses variables d'état à l'instant `t`, et que la connaissance des états antérieurs n'apportent aucune information supplémentaire. Il est alors inutile de considérer le passé, seul la connaissance de l'espace à un instant `t` suffit.
5) Principe analytique
Les variables de position des particules sont fonctions du temps `t`. Elles sont toutes supposées infiniment dérivables et telles que leurs séries de Taylor soient convergentes en toute valeur du temps. Ce principe contient aussi l'hypothèse analytique des forces, c'est à dire l'hypothèse que la force est une fonction analytique de la position, de la vitesse, de l'accélération..., de la dérivé n-ième de la position..., de l'ensemble des particules. Il s'en suit que la position, la vitesse, l'accélération..., la dérivé n-ième de la position...., d'une particule sont également des fonctions analytiques, c'est à dire des valeurs indéfiniment dérivables et telle que la série de Taylor convergent pour toute valeur de `t`.
Ce principe fondamentale donne aux mouvements une signification aux propriétés mathématiques étonnantes. En particulier, si on connait la position `x`
sur un intervalle quelconque de temps `"]"t_1,t_2"["`, ou bien si on connaît la suite de ses dérivés n-ième en un instant précis `t`, alors on connaît `x` en tout instant `t`.
6) Principe d'un temps commun
Le fait que chaque particule connaissent à chacun de ses instants l'état des autres particules, quelque soit leur éloignement et leur état, n'entraine pas pas que le temps s'écoule de la même façon partout. C'est pourquoi il nous faut le principe d'un temps commun pour l'imposer. Le temps est le même pour toutes les particules Le temps publique est représenté par la variable `t`. Les paramètres d'état du sytème physique sont donc toutes, fonctions d'une unique variable de temps `t`.
7) Principe d'inertie (première loi de Newton)
Le principe d'inertie affirme qu'une particule soumise à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme. Cela correspond au principe de conservation de la quantité de mouvement.
Ce principe désigne une classe de mouvements privilégiés que sont les translations uniformes et qui seront définies intrinsèquement dans l'espace sous la forme de référentiels inertiel.
8) Principe de la dynamique et de la sommation des forces (deuxième loi de Newton)
L'accélération d'un corps est parallèle et directement proportionelle à la force appliquée `vec F` sur le corps, elle est dans la même direction que la force, et elle est inversement proportionnelle à la masse `m` du corps, soit :
`vec F =m vec a`
Et les forces s'ajoutent.
9) Principe de l'équilibre des forces et forces de réaction (troisième loi de Newton)
Lorsqu'un premier corps exerce une force `vec(F_1)` sur un deuxième corps, le deuxième corps exerce simultanément une force `vec(F_2)= -vec(F_1)` sur le premier corps. Ainsi `vec(F_1)` et `vec(F_2)` sont égales et opposées en direction.
Selon l'ensemble de ces principes, la force n'est fonction que des seules positions de la source et de la particule subissant la force.
(Néanmoins ce principe est trop restrictif. Il conviendra d'élargire ce principe pour inclure des modèles de forces du genre magnétique, dérivant d'un potentiel vecteur.)
10) La loi de l'attraction universelle de Newton
Newton affirme que deux masses s'attirent proportionellement au produit de leur masse et de façon inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Le facteur de proportionnalité est la constante universelle de gravité `G`. Dans l'histoire de la physique, c'est la première découverte d'une constante universelle avec celle de la vitesse de la lumière.
Une légende dit que Newton avait donné secrètement une cause théologique à la nature de l'attraction universelle, celle de l'amour de la masse pour la masse.
On considère une particule, qui ne peut pas avoir de moment cinétique propre afin de simplifier le problème, et qui possède une masse `m`. Elle est placée dans un espace euclidien `RR^3`. Elle possède une position `vec x`, une vitesse `vec v`, et une accélération `vec a` dépendant du temps, ce qui se note par les neurones suivants :
`m"←"t`
`vec x "←"t`
`vec v "←"t`
`vec a "←"t`
Les variables ainsi déclarées sont implicitement fonction de `t` et ont comme argument par defaut, `t`. Ainsi `m"="m(t)`, `vecx"="vecx(t)`, `vecv"="vecv(t)`, `veca"="veca(t)`.
La position, la vitesse, l'accélération et la pente se définissent ainsi :
`vec v "=" (d vecx)/dt` `vec a "=" (d vecv)/dt`
où `dt` est l'élément différentiel de temps, c'est un intervale de temps infiniment petit du premier ordre, qui nous permet ainsi d'établir les lois locales du mouvement. Le calcul différentiel a des règles trés surprenantes qui permet de nombreuse démonstrations. On déduit de ces égalités exactes d'autres égalités exacte c'est à dire valables à tous les ordres :
`vec a =(d vecv)/dt`
`vec a = (d ((d vecx)/dt))/dt = (d^2vec x)/(dt^2)`
Les éléments différentiels exactes peuvent être utilisés comme des valeurs infiniments petites du premier ordre faisant partie de l'état du système. Ainsi nous pouvons écrire :
`d vec x "←"t`
`d vec v "←"t`
`d vec a "←"t`
Et récupérer les équations exactes :
`dvec x=vecvdt`
`dvecv=vecadt`
`dveca=vecpdt`
Par contre dès que l'on appliquera une fonction à une valeur altérée par des éléments différentiel, le résultat sera généralement une série que l'on tronquera à un ordre donnée. Le calcul différentiel ouvre de nouveaux horizons dans l'art des démonstrations en analyse.
L'élément différentiel `dt` permet d'établir des calculs différentiels. L'évolution de la variable de position d'une particule au premier ordre c'est à dire à `O(dt^2)` près, est :
`vec x(t"+"dt) = vec x + dvec x+O(dt^2)`
et comme `dvec x "=" vec vdt` constitue une égalité exacte c'est à dire valables à tous les ordres, nous avons :
`vec x(t"+"dt) = vec x + vec vdt + O(dt^2)`
Les éléments différentiels exactes d'éléments différentels exactes qui désignent des variations de variations peuvent être utilisés comme des valeurs infiniments petites du second ordre faisant partie de l'état du système. Ainsi nous pouvons écrire :
`d^2 vec x "←"t`
`d^2 vec v "←"t`
`d^2 vec a "←"t`
Et récupérer les équations exactes :
`d^2vec x=vec a(dt)^2`
Si on veut calculer l'évolution locale de `x` au second ordre c'est à dire à `O(dt^3)` près, on utilise la propriété canonique :
`vec x(t"+"dt) = vec x + dvec x+(d^2 vec x)/(2!)+O(dt^3)`
et comme `dvec x "=" vec vdt` et `d^2vec x"="vec a(dt)^2` constitue des égalités exactes c'est à dire valables à tous les ordres, nous avons :
`vec x(t"+"dt) = vec x + vec vdt+vec a(dt)^2/(2!)+O(dt^3)`
Si on veut calculer l'évolution de `x` de façon exacte, c'est à dire valable à tous les ordres, nous utilisons la propriété canonique suivante :
`vec x(t"+"dt) = (e^d)vec x`
`vec x(t"+"dt) =(1+d+(d^2)/(2!)+(d^3)/(3!)+(d^4)/(4!)+...)vec x`
Et si on s'arrête à `O(dt^4)` près par exemple, cela donne l'équation canonique suivante :
`vec x(t"+"dt) = vec x+ dvec x + (d^2vec x)/(2!) + (d^3vec x)/(3!) + O(dt^4)`
Et comme `vec v=dvec x"/"dt` et que `vec a=d^2vec x"/"dt^2` et que l'on appel pente `vec b = d^3vec x"/"dt^3` sont des définitions exactes, donc valables à tous les ordres près, on obtient :
`vec x(t"+"dt) = vec x+ vec vdt + vec a(dt^2)/(2!) + vec b(dt^3)/(3!) + O(dt^4)`
Par convention les variables pointées correspondent à leur dérivée selon le temps, ainsi :
`vec v=dot vec x`
`vec a=dot vec v=ddot vec x`
`vec b=dot vec a=ddot vec v`
L'approximation que nous allons faire consiste à supposer que la pente d'accélération est constante. On peut alors déduit l'équation du mouvement par intégration successive. On calcul débord l'évolution de l'accélération au cours du temps. La particule à l'instant `0` possède une accélération `a_0`, puis à l'instant `t` elle possède une accélération `a` :
`dvec a=vec b dt`
`int_(vec a_0)^(vec a) dvec a = int_(0)^(t) vec b dt`
`vec a-vec a_0 = vec b t`
`vec a=vec a_0 + vec b t`
Connaissant maintenant l'accélération au cours du temps, on en déduit l'évolution de la vitesse au cours du temps : La particule à l'instant `0` possède une vitesse `vec v_0`, puis à l'instant `t` elle possède une vitesse `vec v` :
`dvec v=vec adt`
`dvec v=(vec a_0 + vec b t)dt`
`int_(vec v_0)^(vec v) dvec v = int_(0)^(t) (vec a_0 + vec b t)dt`
`vec v-vec v_0 = vec a_0t + vec b (t^2)/2`
`vec v=vec v_0 + vec a_0t + vec b (t^2)/2`
Connaissant maintenant la vitesse au cours du temps, on en déduit l'évolution de la position au cours du temps : La particule à l'instant `0` possède une position `x_0`, puis à l'instant `t` elle possède une position `x` :
`dvec x=vec vdt`
`dvec x=(vec v_0 + vec a_0 t + vec b(t^2)/2)dt`
`int_(vec x_0)^(vec x) dvec x = int_(0)^(t) (vec v_0 + vec a_0 t + vec b(t^2)/2)dt`
`vec x-vec x_0 = vec v_0 t + vec a_0 (t^2)/2 + vec b(t^3)/6`
`vec x = vec x_0 + vec v_0 t + vec a_0 (t^2)/2 + vec b(t^3)/6`
La loi de l'attraction universelle de Newton affirme que deux masses s'attirent proportionellement au produit de leur masse et de façon inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. L'effet d'une force `vec F` sur une particule de masse `m` et de position `vec x` et d'accélération `vec a` est :
`vec F"←"t`
`vec x "←"t`
`vec v "←"t`
`vec a "←"t``vec F = m vec a`
`vec F = m (d^2 vec x)/(dt^2)`
La force de gravité exercée par une particule de position `vec X` et de masse `M` sur une particule de position `vec x` et de masse `m` est la suivante :
`vec r = vec x - vec X`
`r=|vec r|`
`vec u =(vec r)/r`
`vec F = -vec u (GMm)/(r^2)`
Où `G` est la constante gravitationnelle. `vec u` est la direction de la source du champ vers l'a particule subissant le champ. La force est centripète d'où le signe moins. La force est inversement proportionnelle au carré de la distance et est proportionnelle au produits des masses.
Lorsque la situation devient extrême avec un rayon d'interaction très faible, l'accélération devient gigantesque, elle devient source d'erreur, ou nécessite un calcul beaucoup plus long qui peut être considéré comme sortant du cadre théorique.
On définit un état de choc avec un champ de force particulier. On munit chaque particule d'un rayon `R`, et son champ de force gravitationnelle et modifié lorsque `r"<"R`. On modifit la force de gravité linéairement selon `r` pour la ramener à zéro lorsque la distance est nulle. Cette méthode d'une simplicité extrême nous permet d'éviter les erreurs de calcul lorsque les distances d'interaction deviennent trop petites. On otient ainsi un système stable qui conservent bien la quantité d'énergie totale ainsi que la quantité de mouvement et le moment cinétique global.
Cette gestion des chocs correspond à des chocs sans diffusion d'énergie du aux frottements ou aux fusions de masses et avec un minimum d'aléatoire. Cela est justifié si nous nous plaçons au niveau des particules élémentaires. Car selon le principe de la quantité d'information finie, étant à des niveaux élémentaires d'information, la fusion de masses engendre de nouvelles particules de masses différentes, et l'échange d'énergie par frottement engendre l'émission de champ ou de particules nouvelles. Cela est donc justifier en faisant l'hypothèses que ces nouvelles particules n'apparaissent pas. La forme du champ de force de chocs n'a que peut d'influence lorsque les chocs sonst rares.
`vec r = vec x - vec X`
`r=|vec r|`
`vec u =(vec r)/r`
`"si "r">"R" alors "{vec F = -vec u (GMm)/(r^2)}" sinon "{ vec F = -vec u (GMm)/(R^2) r/R}`
On résoud le système d'équations différentielles numériquement de façon approchée. Cela consiste à ségmenter le temps en une succession d'intervalles de duré `Deltat`. L'approximation que nous faisons consiste à considérer que pendant chaque intervalle de temps `Deltat`, l'accélération de chaque particule évolue linéairement, c'est à dire que leurs pentes sont constantes. Autrement dit, la trajectoire est localement du 3-ième degrès. L'algorithme consiste à refaire trois fois le calcul pour ajuster à chaque fois la pente d'accélération.
A l'instant `0`, la particule se situe à la position `vec(x_0)` avec une vitesse `vec(v_0)`, une accélération `vec(a_0)` et une pente `vec(b)`. Puis à l'instant `Deltat`, la particule se situe à la position `vec(x_1)` avec une vitesse `vec(v_1)`, une accéleration `vec(a_1)`, nous avons :
`vec(a_1) = vec(a_0) + vec(b) Deltat` `vec(v_1) = vec(v_0) + vec(a_0)Deltat + vec(b)(Deltat^2)/2` `vec(x_1) = vec(x_0) + vec(v_0)Deltat + vec(a_0)(Deltat^2)/2 + vec(b)(Deltat^3)/6`
On connait la position de chaque chaque particule, on en déduit la force de gravité résultante `vec(f_1)` pour chaque particule et on recalcule la nouvelle accélération `vec(a_1)` de chaque particule. On recalcule la pente `vecb:=(vec(a_1)-vec(a_0))"/"dt` de chaque particule. Puis on refait le calcul avec cette nouvelle pente, et on répète l'itération jusqu'à ce que la variation du résultat soit inférieure à `epsilon`. Dans la pratique on répète l'itération 3 fois systématiquement.
On demande à « ChatGPT / Code Generator » de programmer en Javascript et HTML le simulateur avec les prescriptions suivantes :
Réponse :
https://chatgpt.com/share/978176a4-7e14-4a4e-ac7c-ae69c35bbf79
Voici le résultat :
d.html
---- 10 Août 2024 ----