Les réels se construisent à partir de l'unité `1` et de la somme `+` définie comme opération associative commutative libre, ce qui engendre le semi-groupe `NN^"∗"`, auquel on ajoute le passage à l'opposé représenté par la fonction unaire `x|->-x` ce qui engendre l'anneau `ZZ`, auquel on ajoute le passage à l'inverse représenté par la fonction `x|->1"/"x` où le produit reste associatif, commutatif et distributif par rapport à l'addition, ce qui engendre le corps `QQ`, qui est ordonné et que l'on complète selon cette métrique en le corps ordonné complet `RR`.
La complétion de `QQ` en `RR` passe de l'infini dénombrable à l'infini continu. La génèse est incompatible avec l'infini, et donc d'autant plus avec l'infini continu. Cet infini continu est une construction abstraite, un artifice mathématique. Il est pondéré par la restriction analytique, une restriction qui consiste à n'utiliser que des fonctions analytiques, c'est à dire continues, indéfiniment dérivables et égales à des développement de Taylor convergents sur un voisinnage en tout point du domaine de définition. Mais cela n'est suffisant pour les rendre dénombrable.
La définition de la multiplication dans `ZZ` suivi de la construction passant de `ZZ` à `QQ` puis de la construction passant de `QQ` à `RR` va définir la multiplication, c'est ainsi que la multiplication est engendrée par l'addition. Il est alors opportun de s'interesser aux fonctions exponentielles. Ce sont les fonctions `f` dans `RR` satisfant la propriété suivante quelque soient `x,y` deux réels :
`f(x"+"y)=f(x)f(y)`
Une telle fonction `f` établit un isomorphisme entre deux structures de corps. La fonction correspond à une élévation à la puissance `f(x)=b^x`, c'est pourquoi on la note parfois `exp_b` :
`exp_b(x)=b^x`
Le paramètre `b` est appelé la base de l'exposant. Le corps de départ est celui des réels noté `RR`. Le corps des réels `RR` muni de son zéro `0`, de son un `1`, de son addition `"+"`, de son opposé `"Opp"(".")`, de sa multiplication `"∗"`, de son inverse `"Inv"(".")`, se définit sous forme d'une fonction propositionnelle :
`"Corps" (RR,0,1,"+","Opp","∗","Inv") <=> AA(x,y,z) "∈" RR^3, ((x"+"y=y"+"x),((x"+"y)"+"z=x"+"(y"+"z)=x"+"y"+"z),(x"+"0=x),(x+"Opp"(x)=0),(xy=yx),((xy)z=x(yz)=xyz),(x"*"1=x),(x"≠"0 => "Inv"(x)x"="1),(x(y"+"z)=xy"+"xz))`
Où l'opération `"∗"` peut être notée par absence de symbole en juxtaposant les arguments, faisant que `x"∗"y=xy`, et où la multiplication est de priorité syntaxique plus grande que celle de l'addition, ce qui ce note :
`"priorité"("∗")>"priorité"("+")`
Le corps d'arrivé est celui des réels strictements positifs de base `b`, noté `RR_b`, où ce paramètre `b` est l'image de `1` par `f` et constitue l'élément neutre pour l'opération jouant le rôle de la multiplication dans le ce corps d'arrivé :
`f(1)"="b`
`f(x) = b^x`
Dans ce corps l'opération qui joue le rôle de l'addition est donc `"∗"`, et celle qui joue le rôle de la multiplication se note avec un autre symbole `"∙"`. L'élément jouant le rôle du zéro est donc `1`, et l'élément jouant le rôle du un est `b`. La fonction jouant le rôle de l'opposé est la division `"Inv"(".")`, et la fonction jouant le rôle de l'inverse est le logarithme en base `b` noté `log_b(".")`. Ce corps se définit sous la même forme de fonction propositionnelle :
`"Corps" (RR_b,1,b,"∗","Inv","∙","log"_b) <=> AA(x,y,z) "∈" RR_b^3, ((x"∗"y=y"∗"x),((x"∗"y)"∗"z=x"∗"(y"∗"z)=x"∗"y"∗"z),(x"∗"1=x),(x"∗""Inv"(x)=1),(x"∙"y=y"∙"x),((x"∙"y)"∙"z=x"∙"(y"∙"z)=x"∙"y"∙"z),(x"∙"b=x),(x"≠"1 => "log"_b(x)"∙"x"="1),(x"∙"(y"∗"z)=x"∙"y"∗"x"∙"z))`
où l'opération jouant le rôle de la multiplication `"∙"` est de priorité syntaxique plus grande que celle jouant le rôle de l'addition `"∗"`, ce qui ce note :
`"priorité"("∙")>"priorité"("∗")>"priorité"("+")`
`f : RR -> RR_b`
`AA(x,y) "∈" RR^2, EE(u,v) "∈" RR_b^2,`
| `0|->1` | `f(0)=1 | ||
| `1|->b` | `f(1)=b | ||
| `x|->u` | |||
| `y|->v` | |||
| `x"+"y|->u"∗"v` | |||
| `x"∗"y|->u"∙"v` | |||
| `f(x)=b^x | |||
| `f^("-"1)(u) |
`f(0)=1= exp_b(0)`
`f(1)=b = exp_b(1)`
`f(x)=b^x= exp_b(x)`
`f^("-"1)(u) = log_b(u)``f=exp_b`
`f^(-1)=log_b`
`u"∙"v = u^(f^("-"1)(v)) = u^(log_b(v))``b^(ax) = (b^a)^x`
`exp_b(ax)=exp_(b^a)(x)``b^a=c`
`log_b(b^a)=log_b(c)`
`a= log_b(c)``exp_c(x)= exp_(b^a)(x) = exp_b(ax) = exp_b(log_b(c)x)`
Cela se démontre comme suit : L'isomorphsisme entraine une succession d'évidences.
`1=f(0)=f(x-x)=f(x +(-x))=f(x)f(-x)`
`f(-x)=1/f(x)`
`f(x-y)=f(x)/f(y)`
La fonction `f` est continue par principe. En effet, on s'aventure dans le monde du continu en se restreingnant aux seuls fonctions analytiques.
`AAn "∈" NN`, `AAq "∈" NN^"∗+"`,
`f(n"∗"x)=f(x)^n`
`f(x)=f(n"∗"(x"/"n))=f(x"/"n)^n`
`f(x"/"n)=f(x)^(1"/"n)`
`f((n"/"q)"∗"x)=f(x)^(n"/"q)`
et comme `f` est continue, `f(x"∗"y)=f(y)^x=f(y"∗"x) =f(x)^y`, et donc :
`f(x)=f(x"∗"1)=f(1)^x=b^x`
`u"∙"v = f(x"∗"y)=f(x)^y=u^(f^("-"1)(v))= f(y"∗"x)=f(y)^x=v^(f^("-"1)(u))`
C'est ainsi que l'on définit l'élévation à la puissance :
`f(x)=b^x`
Lucas Willems part de l'hypothèse d'une fonction `sf"exp"` analytique, égale à sa dérivée, et envoyant `0` sur `1` :
`sf"exp"(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+...`
`sf"exp"’=sf"exp"`
`sf"exp"(0) = 1`
Il en déduit :
`sf"exp"(0) = a_0` donc `a_0=1`
`sf"exp"(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 +...`
`sf"exp"’(x) = a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3 +5a_5x^5+...``a_0=a_1`
`a_1=2a_2`
`a_2=3a_3`
`a_3=4a_4`
...
`a_(n"-"1)=na_n`
Et donc :
`AAn "∈" NN"*", a_n=(a_(n"-"1))/n`
`a_n = (a_(n"-"1))/n = (a_(n"-"2))/((n"-"1)n) = (a_(n"-"3))/((n"-"2)(n"-"1)n) = (a_0)/(1*2*3...(n"-"2)(n"-"1)n)`
`a_n = 1/(n!)`
Ainsi dans une structure de corps, la seul fonction analytique qui est égale à sa dérivéeet qui envoit `0` sur `1` est la fonction exponentiel `sf"exp"` définie comme suit avec les conventions habituelles :
`sf"exp"(x)=e^x`
`e^x = 1+x+(x^2)/2 + (x^3)/(3!) + (x^4)/(4!) + ...`
`e^x = sum_n (x^n)/(n!) dx^n`
Considérons maintenant une fonction analytique `f` vérifiant `f(x"+"y)=f(x)f(y)` pour tout `x` et `y`. On en déduit que :
`f(x) = f(0"+"x)=f(0)f(x)`
`f(0)"="1`
Puis on calcul la dérivée `f'` :
`f'(x)= (f(x+dx)-f(x))/dx + O(x)`
`f'(x)= (f(x)f(dx)-f(x))/dx + O(x)`
`f'(x)= f(x)(f(dx)-1)/dx + O(x)`
`f'(x)= f(x)(f(dx)-f(0))/dx + O(x)`
`f'(x)= f(x)f'(0) + O(x)`
`f'(x)= f(x)f'(0)`
Ainsi une fonction analytique qui transforme l'addition en multiplication est une fonction exponentiel `x|->b^x` définie comme suit avec les conventions habituelles :
`b^x = ...`
L'analyse a fortement recours aux espaces de fonctions, une structuration abstraite qui s'inscrit bien dans la démarche d'analyse, usant d'une logique savante de variables imbriquées, quantifiées alternativement universellement puis existentiellement, et des métriques apparaissant sous la main, se développant dans des démonstrations alambiquée à n'en plus finir... Nous proposons une autre démarche qui porte une intuition plus parlante sur la réalité, qui peut davantage séduire les néophytes et ainsi révéler ceux qui s'investiront avec ardeur dans ces mises en pratique et ces recherches. Déjà la structure des réels dépasse largement la réalité en terme de quantité d'information. C'est pourquoi nous ne retenons que quelques propriétés de la structure des réels et non sa nature assurement étrangère à la réalité. Nous ne proposerons pas de solution achevée. Et d'ailleurs dans ce domaine physique rien n'est achevé, le monde est-il achevé ?
La notation du physicien a remplacé la fonction par la variable d'état d'un système, un système qui globalise toutes les dépendances entre variables d'état. Et il le fait par l'intermédiaire d'un calcul assez rudimentaire, celui de série entière, n'utilisant que la somme et le produit, et une métrique pour définir la valeur de la série convergente, que l'on algébrise en procédant à l'ajout de l'infiniment petit `epsilon` par extension élémentaire. Vous aurez remarqué que la division n'est même pas évoquée et qu'elle n'est donc pas indispensable partout.
Puisque nous utilisons des variables d'état et non des fonctions, les opérateurs que nous concevons agiront sur ces variables, reconnaissant que l'état du système est quelque chose de beaucoup plus concret, bien que moins achevé, qu'une fonction mathématique. La variable d'état transporte dans sa nature les liens analytiques qu'elle entretient avec les autres variables d'état.
Le plus bel exemple que nous ayons sous la main d'un tel opérateur est celui de différentialisation `d`. Mais l'exemple ne définit pas les limites de ce que cela pourrait-être. On ne définira pas les limites qu'il peut atteindre mais juste les propriétés qu'il doit satisfaire. L'opérateur agit sur une variable d'état, et remarquez bien, qu'il n'agit pas sur la valeur de la variable d'état mais bien sur la variable d'état elle-même et ses relations qu'elle entretient avec les autres variables d'état. L'opérateur agit sur le système, soit en révélant une nouvelle variables d'état déjà préexistante en soi mais en lui donnant un nom, soit en modifiant le système. Considérons pour l'instant les seuls opérateurs révélant de nouvelle variable d'état. L'opérateur `lambda` appliqué à une variable d'état `x` produit une nouvelle variable d'état `lambdax`.
L'idée consiste alors à intégrer ces opérateurs dans la structure de calcul utilisée, qui utilise l'addition et la multiplication. Et le moyen le plus simple consiste à les ajouter par extension élémentaire avec la propriété que le produit d'un opérateur et d'une variable traduise l'application de l'opérateur sur la variable. La structure résultante doit redevenir homogène c'est pourquoi la variable elle-même devient un opérateur qui appliqué à une autre variable produit une nouvelle variable d'état qui est égale au produit des deux variables en question. En faisant ce choix, on façonne ce qu'est un opérateur. On garde l'associativité du produit que l'on identifie à l'associativité de la composition de fonctions. Mais la priorisation de l'appel ce qui rompt l'associativité qu'en apparence. Ainsi, étant donné trois variables d'états `x,y,z`, chacune de ces variables d'état est un opérateur qui consiste à multiplier par la variable d'état en question, et le produit `xyz` désigne la composition d'opérateurs `x"∘"y"∘"z` c'est à dire l'opérateur multipliant par `z` puis par `y` puis par `x`.
Puis la structure résultante devra respecter les propriétés de la structure de calcul initiale concernant l'addition. L'addition devra être associative, commutative, admettre `0` comme élément neutre, et la fonction `-(".")` comme fonction opposée. La structure résultante gardera l'associativité du produit qui est vérifiée par la composition de fonction. Par contre la structure résultante ne gardera la commutativité et la distributivité du produit sur l'addition ainsi que l'existence de l'inverse, que pour certains opérateurs. Les deux premiers opérateurs que nous définissons dans cette logique sont la différentialisation `d` et l'exponentiel `sf"exp"` notée `x|->e^x`.
`f←(x)`
`df = f’dx`
`d^2f = f’’dx^2`
`d^nf = f^("("n")") dx^n`
`f(x"+"dx) = f+df+(d^2f)/2+(d^3f)/(3!) +...`
`f(x"+"dx) = (1 +d+(d^2)/2+(d^3)/(3!) +...)f`
`f(x"+"dx) =e^d f`
Si maintenant nous voulons varier `dx` en le multipliant par un réel `a`. Cela revient à faire un changement de variable `y = ax` et à reformuler `f` fonction de `y`.
---- 19 mai 2023 ----