Le cacul des différentielles nous amène au calcul des dérivées et des tangentes qui sont des transformations linéaires. Aussi il est naturel que du calcul différentiel nait l'étude des transformation linéaire et des espaces vectoriels.
On commence par étudier une fonction analytique binaire c'est à dire de `RR"×"RR->RR`, et on établit sa série de Taylor.
Considérons une variable d'état `f` qui dépend totalement de deux variables `x,y`. Cela se note par le neurone suivant :
`f←x,y`
On définie deux opérateurs de dérivée partielle `del/(delx)` et `del/(dely)` comme suit :
`(del f)/(delx) = (f(x"+"dx,y)-f)/dx +O(epsilon)`
`(del f)/(dely) = (f(x,y"+"dy)-f)/dy+O(epsilon)`
On définie deux opérateurs de différentialisation partielle `del_x` et `del_y` comme suit :
`del_x f =(del f)/(delx) dx`
`del_y f = (del f)/(dely) dy`
`del_x f` représente la variation tangentielle de `f` au point `(x,y)` lorsque l'on fait bouger `x` de `dx` sans faire bouger `y`. Et `del_y f` représente la variation tangentielle de `f` au point `(x,y)` lorsque l'on fait bouger `y` de `dy` sans faire bouger `x`. Le developpement de Taylor à deux variables peut s'établire à partir des deux règles suivantes :
`f←x,y`
`f(x"+"dx,y"+"dy)=f+df+(d^2f)/2 +(d^3f)/(3!) +...`
`df = del_xf + del_yf`
On en déduit que :
`d^2f = (del^2f)/(delx^2)dx^2 + 2 (del^2f)/(delxdely)dxdy + (del^2f)/(dely^2)dy^2`
`d^nf = sum_(k=0)^n ((n),(k)) (del^nf)/(del^(n"-"k)xdel^ky)`
où les `((n),(k))` sont les coefficients binomiaux :
`((n),(k))=(n!)/(k!(n-k)!)`
Le developpement de Taylor à trois variables peut s'établire à partir des deux règles suivantes :
`f←x,y,z`
`f(x"+"dx,y"+"dy,z"+"dz)=f+df+(d^2f)/2 +(d^3f)/(3!) +...`
`df = del_xf + del_yf + del_zf`
On en déduit que :
`d^2f = `
`d^nf = `
`f(x+dx,y) = O(1)`
`f(x+dx,y) = f+O(epsilon)`
`f(x+dx,y) = f+del_xf + O(epsilon^2)`
`f(x+dx,y) = f+del_xf + del_x^2f"/"2 + O(epsilon^3)`
`f(x+dx,y) = f+del_xf + del_x^2f"/"2 + del_x^3f"/"6 + O(epsilon^4)`
Le neurone indique les arguments par défaut. Ainsi nous avons :
`f’= f’(x,y)`
`(delf)/(delx) = (delf(x,y))/(delx)`
`(delf)/(dely) = (delf(x,y))/(dely)`
`del_x f= del_x f(x,y)`
`del_y f= del_y f(x,y)`
Notez qu'il y a trois notations équivalentes, soit en faisant apparaitre l'opérateur de dérivabilité partiel que l'on applique sur la fonction, soit en mettant la fonction dans l'expression, soit en faisant apparaitre l'opérateur de différentiabilité partielle qui est associée à la diffférentielle totale de l'argument :
`del/ (delx) f = (delf)/(delx) = 1/dx del_x f `
`del/ (dely) f = (delf)/(dely) = 1/dy del_y f `
On note la position `X` pour désigner le vecteur `(x,y)`. Remarquez l'extrême facilité avec laqelle nous utilisons la virgule pour construire des vecteurs. Le produit ainsi que les opérateurs de dérivées et l'opérateur de différentiabilité, sont distributif sur l'opération virgule :
`f←X`
`X=(x,y)`
`dX=(dx,dy)`
La dérivé de `f` se présente comme un transformation linéaire s'appliquant au vecteur différentiel `dX=(dx,dy)` pour produire la différentielle exacte de `f`. On utilise le produit scalaire `"•"` et une représentation de `f` sont forme de vecteur :
`f’=(df)/(dX) = (df)/(d(x,y)) = ((del f)/(delx), (delf)/(dely)) = ((del_x f)/dx,(del_y f)/dy)`
`df = f’"•"dX`
`df = ((del f)/(delx), (delf)/(dely))"•"(dx,dy)`
`df = (delf)/(delx) dx+(delf)/(dely) dy`
`df = del_x f + del_y f `
`d"/"dX` où `d"/"d(x,y)` est un opérateur de dérivée.
`f’’=(df’)/(dX) = (df’)/(d(x,y)) = ((del f’)/(delx), (delf’)/(dely)) = ((del_x f')/dx,(del_y f')/dy)`
`f’’=d/(dX)((del f’)/(delx), (delf’)/(dely)) = d/(d(x,y))((del f’)/(delx), (delf’)/(dely))`
`f’’= (del/(delx) ((del f)/(delx), (delf)/(dely)), del/(dely) ((del f)/(delx), (delf)/(dely)))`
`f’’=( ((del^2 f)/(delx^2), (del^2f)/(delxdely)), ((del^2 f)/(delxdely), (del^2f)/(dely^2)) )`
Notez que pour les fonctions analytiques les opérateurs de dérivée partielle `del/(delx)` et `del/(dely)` commutent :
`del/(delx) del/(dely) f = del/(dely) del/(delx) f = (del^2 f)/(delxdely)`
---- 28 août 2022 ----