Comment quantifier l'action afin de rendre fini la quantitée d'informations d'un système physique. Nous commençons l'étude par le cas le plus simple avec la particule la plus simple qu'est le photon. Cette particule met en oeuvre la relativité restreinte totale, on pourrait-dire qu'elle est elle-même la relativité restreinte totale. La difficulté vient alors que nous n'avons pas de modèle d'univers unidimensionnel finie relativiste évident sous la main. Néanmoins, une possibilité parmi les plus simples semble consister en un cercle de Möbius : On relie les deux bouts du segment d'espace en inversant à la fois le temps et l'espace.
Le photon étant la plus simple des particules, va apporter un éclairage simplificateur. Le principe d'incertitude est mis en exergue à la vue de tous, dans la formule de l'énergie du photon `E= h nu`. La fréquence `nu` étant l'inverse de l'intervalle de temps correspondant à la période de l'onde lumineuse associée au photon.
La génèse s'accomode mal avec l'infini, c'est pourquoi la conception des cycles mondes apparait. Un univers d'espace unidimensionnel peut ne pas être une droite indéfinie. L'espace peut être recourbé pour former un cercle c'est à dire un segment `[0,L]` dans lequel on a rejoint les deux bouts. Et il y a deux façons canoniques de rejoindre les deux bouts sans rompre la continuitée ni introduire de complexité arbitraire. On le fait soit directement, ou soit en inversant à la fois le sens de l'espace `dx` et le sens du temps `dt`, formant ainsi une sorte de ruban de Möbius à une seule dimension, appelé cercle de Möbius.
Considérons le premier cas, celui d'un univers fini de topologie circulaire, un segment dont on a raccordé les deux bouts. Le principe de relativité doit s'appliquer. Il n'y a effectivement pas de centre dans cet univers. Chaque point du segment peut revendiquer être le centre. Et il ne doit pas y avoir de vitesse absolue autre que `c`. Considérons un observateur `A` et considérons un observateur `B` se déplaçant à la vitesse `v` par rapport à `A`. Dans le référentiel `A` l'horloge interne de `B` est ralentie, divisé d'un facteur `γ`. Et la situation est symétrique. `B` peut être considéré comme fixe et `A` comme se déplaçant à la vitesse `-v`. Et comme `γ` ne dépent pas du signe de `v`, dans le référentiel `B` l'horloge interne de `A` est ralentie, divisé d'un même facteur `γ`. Cela n'est pas contradictoire jusqu'au moment où, du fait que le segment est refermer en un cercle, et plus exactement avec une topologie circulaire mais sans la force centrifuge d'inertie, les deux observateurs se recroisent, et qu'au cours de cet évènement précis où ils se croisent, ils peuvent comparer leur horloges internes conjointement. Dans le référentiel `A`, l'observateur `B` aura veilli moins vite que `A` car l'écoulement du temps pour `B` est ralenti d'un facteur `1"/"γ`. Et symétriquement dans le référentiel `B`, l'observateur `A` aura veilli moins vite que `B` car l'écoulement du temps pour `A` est ralenti d'un facteur `1"/"γ`. Cette contradiction appelée "le paradoxe des jumeaux" ou "le paradoxe des horloges" devient une réelle contradiction dans un univers fini avec une topologie circulaire.
Exclut donc cette construction trop simple du cercle comme univers, on opte pour la seconde façon, le cercle de Möbius. Il consiste à raccorder les deux bouts du segment `[0,L]` en inversant le sens du temps ainsi que le sens de l'espace. Ce raccord s'apparente à un double miroir que l'on traverse. Et nous verrons que rien ne permet à l'observateur de savoir quand il traverse ce miroir de telle sorte que celui-ci n'est localisé nulle part, et respecte ainsi le principe de relativité. Il n'y a pas de centre dans cet univers. Chaque point du segment peut revendiquer être le centre. Et il n'y a pas de vitesse absolue autre que `c`.
Néanmoins, pour que les voyageurs `A` et `B` se recroisent sans que le paradoxe des horloges n'entraînent de contradiction, il faut effectuer non pas un tour mais `2` tours de l'univers, le premier croisement entraine une contradiction, tandis que le second croisement ramène les observateurs à leur position spatio-temporelle d'origine.
Le cercle de Mobius est donc un double cercle que l'on peut représenter par le symbole de l'infini `oo`.
Le voyageur, après avoir fait un tour de l'univers, repasse sur sa position initiale mais sans aucun moyen de communication avec ceux restés sur place sous-peine d'une contradiction manifeste. Autrement-dit, il est ailleurs. Et c'est seulement lorsqu'il repasse une deuxième fois après donc avoir fait deux tours de l'univers qu'il retrouve les siens mais d'une manière identique tel qu'ils étaient tous au départ, pour refaire un cycle monde.
La topologie de l'univers va donc doter chaque couple de particules d'un flag désignant si elles sont dans le même univers ou dans des univers symétriques c'est à dire séparé d'un tour d'univers. Lorsque les particules sont séparées d'un tour d'univers, leur temps évolue dans des sens inverses et aucune interaction ne peut se produire entre-elles. Et lorsque ils deviennent déparés de deux tours d'univers, tout redevient normal.
Comme décrit au chapitre 14 du docment Du signal à l'équation du monde - Le signal, Le photon est déterminé indépendament de sa direction par une seule caractéristique parmi :
Ces 6 caractéristiques sont liées par 5 équations :
On en déduit les liens suivants :
Le photon se comporte comme une horloge avec une rapidité qui lui est propre et qui est sa fréquence `nu`, une fréquence immuable tant que le photo n'intéragit pas, définissant un tic-tac à chaque période `bbbt` de son signal. L'intervalle de temps `bbbt` est la période du photon, c'est à dire un étalon de temps, le laps de temps entre deux tic-tac.
La nature particulièrement simple des premières équations du photon, une particule des plus fondamentales de l'univers, appuie le point de vue que le monde est intelligible et qu'il existe un chemin de raisonnement, une voie simple nous amenant quasi-canoniquement à des résultats fondamentaux. Les théologiens s'accordent à dire que Dieu a créé un monde intelligible pour que son fonctionnement soit compréhensible par l'homme, et si ce Dieu n'existe pas, le monde possède alors par lui-même ses propres raisons d'être que la raison qui en fait partie n'a pas de raison de ne pas pouvoir découvrire par elle-même. C'est de ce constat que vient naturellement l'idée que les équations du monde pourraient être déduisibles par le seul raisonnement, sans même qu'il soit nécessaire de recourir à une quelconque expérience. Et que c'est notre culture, nos habitudes, nos préjugés qui nous brident et qui nous empêchent de penser et d'emprunter ces voies.
On constate que les données de temps `t` et d'énergie `E` d'un photon ont une précision limitée interdépendante. Si on connait précisement `E` alors on ne peut pas connaitre précisement `t` et réciproquement si on connait précisement `t` alors on ne peut pas connaitre précisément `E`. Mais la mécanique quantique ne s'en tient pas au constat de cette seule limite des mesures, elle l'instaure comme un principe de réalité, celui du calcul de l'énergie d'un photon. C'est le principe d'incertitude d'Heisenberg.
Etant donné un photon. Ce photon est une particule et possède donc 3 variables d'états que sont sa masse `m`, sa positon `x` et le temps `t`, qui est en faite le temps impropre du photon, le temps de l'observateur qui conçoit la mesure de `m` et de `x`. L'incertitude sur la date c'est à dire sur la mesure du temps, `Deltat`, dépend de l'incertitude sur la mesure de l'énegie, `DeltaE`, selon la formule de dépendance qui découle directement du calcul de l'énergie du photon :
`DeltaE Deltat=h`
Autement dit, si on connait la date de la mesure `t` deux fois plus précisement alors on connait l'énergie `E` deux fois moins précisement, et réciproquement si on connait `E` deux fois plus précisement alors on connait `t` deux fois moins précisement.
Le but de cette incertitude est de quantifier les états possibles du système afin de rendre fini la quantité d'information du système.
Notons `bbbt` la période du photon. La première quantification observée est celle du transfert d'énergie `bbbE` électromagnétique mono-fréquence, de fréquence `1"/"bbbt` :
`bbbEbbbt=nh` avec `n "∈" NN`
Le produit de `bbbE` et de `bbbt` est quantifié sans que ni `bbbE` ni `bbbt` ne soitent quantifiés. Pour faire cela, on introduit des incertitudes `DeltabbbE, Deltabbbt` vérifiant `DeltabbbE Deltabbbt=h`.
Le photon à un temps propre figé. De son point de vue, il est émit en même temps qu'il est absorbé, faisant que les conditions d'émission peuvent dépendre des conditions d'absorption qui, pour un observateur extérieur, peut avoir lieu trés loin dans le future. Dans notre modèle particulièrement simple, le photon existe en même temps que le cercle de Möbius, la question de son émission et de son absorption ne se pose pas.
Le photon parcourt l'espace necessairemet de façon cylique, puisque 2 tours du cercle de Möbius te fait revenir à la même position spacio-temporelle propre.
Ce photon est une particule et possède donc 3 variables d'états que sont sa masse `m`, sa positon `x` et le temps `t`, qui est en faite le temps impropre du photon, le temps de l'observateur qui conçoit la mesure de `m` et de `x`. La position `x "∈" [0,2L[` de la particule, et sa vitesse `v "=" ±c` ou plus couramment sa quantité de mouvement `p"="±h/(cbbbt)`.
Considérons un état macroscopique parmi les plus simples, un critère limitant le nombre d'états microscopiques, tel que le choix d'une énergie maximum `E`. Et on s'en tient à ce seul critère c'est à dire sans considération du sens de déplacement.
`E=`h/bbbt`
Les états microscopiques du système sont caractérisés par la position `x` et l'impulsion `p` de la particule.
----- 28 mars 2026 ----
L'espace des points `(x,p)` s'appelle l'espace des phases. Chaque état quantique de la particule est caractérisée par une position et une impulsion `(x,p)` avec des incertitudes irréductibles `Deltax` et `Deltap` vérifiant `DeltapDeltax"="h`.
Dans un même état quantique, les valeurs possibles de positions sont indépendantes des valeurs possibles d'impulsion. La somme intégrale des points possibles `(x,p)` est alors égale au produit de la somme intégrale des valeurs possibles de `x`, et de la somme intégrale des valeurs possibles de `p`.
`int_(x)^(x+Deltax) int_(p)^(p+Deltap)dxdv = (int_(x)^(x+Deltax) dx)(int_(p)^(p+Deltap)dp) = DeltaxDeltap = h`
La somme intégrale s'appelle une aire. Ici c'est une surface car il y a deux dimensions que sont l'axe des positions possibles et l'axe des impulsions possibles. Mais, dans le cas générale avec `n` particules, l'espace des phases est de dimension `2n` que sont les axes des positions possibles de chaque particules et les axes des impulsions possibles de chaque particules. La somme intégrale est de dimension `2n` et s'appelle un volume. On constate alors cette propriété remarquable de l'espace des phases. N'importe quel état quantique occupe exactement un volume `h^n`, sans même qu'il soit nécessaire de connaitre les valeurs des incertitudes `Deltap, Deltax` de chaque particule du gaz parfait.
Considérons deux micro-états `(x,p)` et `(x’,p’)`. Ces deux micro-états sont dits séparés si :
`m|p’"-"p|d_L(x,x’)⩾ h`
Pour un état macroscopique considéré, on veut calculer le nombre maximum d'états microscopiques `(x,p)` séparés qu'il est possible de placer dans l'espace des phases. Assurément, chaque état microscopiques séparé correspond au moins à un état quantiques distincts et occupe un volume `h`. Mais, est-il vraiment nécessaire d'imposer une contrainte pairwise où toutes les paires `(x, p)` et `(x’,p’) ` doivent être ainsi séparées ?
Il n'est pas idiot de penser que, ces plages d'incertitudes de volume `h` se composant librement et ne constituant pas des volumes parallélépipédiques rigides, vont s'adapter pour remplir tout l'espace disponible dans l'espace des phases. Ainsi, le seul volume globale qu'ils occupent dans l'espace des phases, divisé par le volume constant d'un état quantique, déterminera leur nombre. C'est le choix consensuelle actuelle en physique, on autorise en quelque sorte le recouvrement local tant que l'intégrale de volume est respecté.
On s'intéressent à l'ensemble des points `(x,p)` satifaisant les critères d'un état macroscopique. Et on calcul le nombre d'états microscopiques quantifiés c'est à dire le nombre d'états quantiques, en divisant le volume accessible dans l'espace des phases par le volume constant d'un état quantique.