Le paradoxe des horloges est un problème difficile à résoudre et donc source de connaissance. Il nous amène à étudier les référentiels en accélération qui relève de la relativité générale et nous donne des éléments de réponse très instructifs d'un point de vue pédagogique dans ce nouveau domaine.
On étudie le paradoxe des horloges d'abord sans accéleration dans le cas du cercle de Möbius (univers unidimensionnel recourbé et raccordé en inversant le temps et l'espace), puis avec accélération dans un univers unidimensionnel.
La génèse s'accomode mal avec l'infini, c'est pourquoi la conception des cycles mondes apparait. Un univers d'espace unidimensionnel peut ne pas être une droite indéfinie. L'espace peut être recourbé pour former un cercle c'est à dire un segment `[0,L]` dans lequel on a rejoint les deux bouts. Et il y a deux façons canoniques de rejoindre les deux bouts sans rompre la continuitée ni introduire de complexité arbitraire. On le fait soit directement, ou soit en inversant à la fois le sens de l'espace et le sens du temps, formant ainsi une sorte de ruban de Möbius à une seule dimension, appelé cercle de Möbius.
Considérons le premier cas, celui du cercle, un segment dont on a raccordé les deux bouts. Le principe de relativité doit s'appliquer. Il n'y a effectivement pas de centre dans cet univers. Chaque point du segment peut revendiquer être le centre. Et il ne doit pas y avoir de vitesse absolue autre que `c`.
Considérons un observateur `"A"` dans un vaisseau de taille `K`, et considérons un observateur `"B"` dans un vaisseau de même taille se déplaçant à la vitesse `v` par rapport à `"A"`. Dans le référentiel `"A"` la taille du vaisseau de `"B"` est de taille réduite `K"/"gamma` et l'horloge interne de `"B"` est ralentie, divisé d'un même facteur `gamma`. Et la situation est symétrique. `"B"` peut être considéré comme fixe et `"A"` comme se déplaçant à la vitesse `"-"v`. Et comme `gamma` ne dépent pas du signe de `v`, dans le référentiel `"B"` la taille du vaisseau de `"A"` est de taille réduite `K"/"gamma` et l'horloge interne de `"A"` est ralentie, divisé d'un même facteur `gamma`.
Cela n'est pas contradictoire jusqu'au moment où, du fait que le segment est reférmer en un cercle, les deux observateurs se recroisent, et qu'au cours de cet évènement précis où ils se croisent, ils peuvent comparer leur horloges internes conjointement. Dans le référentiel `"A"`, l'observateur `"B"` aura veilli moins vite que `"A"` car l'écoulement du temps pour `"B"` est ralenti d'un facteur `1"/"gamma`. Et symétriquement dans le référentiel `"B"`, l'observateur `"A"` aura veilli moins vite que `"B"` car l'écoulement du temps pour `"A"` est ralenti d'un facteur `1"/"gamma`. Cette contradiction appelée "le paradoxe des jumeaux" ou "le paradoxe des horloges" exclut donc cette construction trops simple du cercle comme univers.
Reste le deuxième cas canonique appelé "cercle de Möbius". Il consiste à raccorder les deux bouts du segment `[0,L]` mais en inversant le sens du temps ainsi que le sens de l'espace. Ce raccord s'apparente à un double miroir que l'on traverse. Et nous verrons que rien ne permet à l'observateur de savoir quand il traverse ce miroir de telle sorte que celui-ci n'est localisé nulle part, et respecte ainsi le principe de relativité. Il n'y a pas de centre dans cet univers. Chaque point du segment peut revendiquer être le centre. Et il n'y a pas de vitesse absolue autre que `c`.
Néamoins, pour le calcul, on peut localiser se raccord en double miroire, arbitrairement n'importe où. On constatera alors, pour qu'un voyageur se retrouve à sa position initiale veilli d'un même intervalle de temps que s'il n'était pas parti, il faut effectuer non pas un tour mais 2 tours de l'univers. Le cercle de Mobius est donc un double cercle que l'on peut représenter par le symbole de l'infini `oo`.
Le voyageur, après avoir fait un tour de l'univers, repasse sur sa position initiale mais sans aucun moyen de communication avec ceux restés sur place sous-peine d'une contradiction manifeste. Autrement-dit il est ailleurs. Et c'est seulement lorsqu'il repasse une deuxième fois après avoir fait deux tours de l'univers qu'il retrouve les siens en ayant veilli identiquement comme ceux restés sur place.
La topologie de l'univers va doter chaque couple de particules d'un différentiel entier désignant le nombre de tours de l'univers qui les sépare. Lorsque ce différentiel est impaire, les particules s'ignorent et lorsqu'il est paire les particules intéragissent.
La relativité générale affirme que les champs d'inerties et les champs de gravité sont de même nature. En conséquence de ce postulat, qui se justifit également par un même principe plus général de relativité des subjectivités comme nous l'avons déjà utilisé pour démontrer la relativité restreinte, un référentiel en accélération constante est identique à un référentiel placé dans un champ de gavité uniforme. Et le premier constat que nous avons fait en étudiant le comportement de la lumière dans un champ de gravité est que le temps s'écoule proportionnellement à `1"+"P"/"c` où `P` est le potentiel de gravité.
Par commodité, tout référentiel `"A"` possède une particule fantome `A` fixée à son origine spatiale, appelée parfois l'origine du référentiel, qui est nommée avec le même nom mais légèrement en italique, c'est une particule dont le référentiel qui lui est propre est `"A"`.
On considère trois référentiel disposée comme suit :
le référentiel du laboratoire `"A"`,
le référentiel du premier voyageur `"B"` se déplaçant à la vitesse `v`,
le réferentiel du second voyageur `"C"` se déplaçant à la vitesse `-v`,
À l'instant zéro du référentiel `"A"` les trois particules `A,B,C` origines respectives des référentiels `"A","B","C"` coïncident spacialement et accordent leur horloge sur zéro.
Dans le référentiel `"A"`. On laisse s'écouler un temps `T`. Les particules `B` et `C` parcourt une distance respective `vT` et `-vT`.
Pour faire revenir ces particules `B, C`, au point d'origine, il faut exercer sur eux une accélération. On pourrait leur imposer brutalement une accélération constante, mais cela ne correspond à aucune réalité. On préfère donc choisir un cas concret d'accélération (en particulier une évolution de l'accélération indéfiniment dérivable et de série de Taylors convergente). Le moyen le plus simple est le rebond d'une charge électrique sur une charge électrique fixé de signe opposé. On munit la particule `B` d'une charge électrique `q` et on fixe dans le référentiel `"A"` à la distance `L` une charge électrique `-q`.