Bibliographie

J. Leite Lopes , "Fondements de la physique atomique ", Editeur Hermann, 1967.

II) Le corps noir

Posons la question à ChatGPT 4o:

Quel est le spectre d'émission du corps noir ?

Le spectre d’émission du corps noir décrit la distribution de l’énergie rayonnée par un objet idéal (le « corps noir ») en fonction de la longueur d’onde pour une température donnée. Ce spectre dépend uniquement de la température de l’objet, conformément aux lois de la radiation thermique. Caractéristiques principales du spectre d’un corps noir : 1) Forme du spectre : Le spectre est continu : il émet à toutes les longueurs d’onde.   Il possède un maximum d’intensité à une certaine longueur d’onde qui dépend de la température.   2) Loi de Planck (distribution spectrale) : L’intensité spectrale (puissance émise par unité de surface, de longueur d’onde et d’angle solide) est donnée par la formule de Planck : `B(λ,T)=(2hc^2)/(λ^5) · 1/(exp((hc)/(λk_BT))−1)` Où : `B(λ,T)` est la luminance spectrale `("W·""sr"^(-1)"·""m"^(-3))`, `λ` est la longueur d’onde `("m")`, `T` est la température `("K")`, `h` est la constante de Planck, `c` est la vitesse de la lumière, `k_B`​ est la constante de Boltzmann.   3) Loi de Wien (déplacement du maximum) : La longueur d’onde `λ_"max"`​ à laquelle le rayonnement est maximal diminue quand la température augmente : `λ_"max"=b/T` avec `b≈2,898"×"10^(−3) m"·""K"` (constante de Wien).   4) Loi de Stefan-Boltzmann (puissance totale) : L’énergie totale émise par unité de surface est : `P=σT^4` où `σ≈5,67"×"10^(−8) "W·m"^(−2)"·K"^(−4)`. Exemple : Un corps noir à `300 K` (≈ température ambiante) émet surtout dans l’infrarouge. À `5800 K` (comme la surface du Soleil), le spectre est centré dans le visible (ce qui explique pourquoi nos yeux sont sensibles à cette gamme). Souhaites-tu que je te montre un graphique du spectre à différentes températures ?

 

Connais-tu le modèle de corps noir que Planck a utilisé, un model constitué d'une multitude de microsystèmes oscillants ne pouvant émettre que des photons de fréquences multiples d'une fréquence de base spécifique à chaque microsystème ?

Oui, tu fais référence au modèle quantique de Planck qu’il a utilisé en 1900 pour résoudre le problème du rayonnement du corps noir, notamment l’échec de la physique classique à expliquer l’ultraviolet catastrophe. Le modèle des microsystèmes oscillants selon Planck : Planck a imaginé le corps noir comme étant constitué d’un grand nombre de microsystèmes oscillants (appelés aussi « oscillateurs harmonique quantiques »), chacun ne pouvant émettre ou absorber de l’énergie que par quantums discrets, proportionnels à leur fréquence propre. Hypothèses clés du modèle : 1) Chaque oscillateur a une fréquence propre `nu`. 2) L'énergie d'un oscillateur est quantifiée `E_n​ = n h nu`    avec   `n=0,1,2,…` → L’énergie n’est pas continue mais vient par paquets de `h nu` (quanta d’énergie). 3) Les oscillateurs échangent de l'énergie avec le champ électromagnétique par absorption ou émission de photons de fréquence `nu`, et seulement de cette fréquence ou de ses harmoniques dans certaines versions du modèle. À noter que dans la version originale de Planck, il n’utilisait pas encore l’idée de photon, mais plutôt des "quanta d’énergie". L'interprétation avec photons viendra plus tard avec Einstein. 4) Distribution de Boltzmann : Les probabilités que les oscillateurs soient dans un état d'énergie donné suivent la distribution thermique classique : `P_n∝exp(−(n h nu)/(k_B T))` Résultat : la loi de Planck En combinant cette quantification avec les statistiques thermodynamiques, il a dérivé la fameuse loi de Planck du rayonnement : `B(ν,T)=(2h nu^3)/(c^2) ⋅ 1/(exp⁡((h nu)/(k_BT))−1)` Petit point subtil : La version que tu évoques — des oscillateurs émettant uniquement des fréquences multiples d’une fréquence de base — est une manière de visualiser le modèle. Chaque mode de vibration peut être vu comme un oscillateur qui ne peut émettre ou absorber que des paquets d’énergie de `h nu`, et donc les échanges d’énergie se font à ces valeurs discrètes uniquement.   En revanche, dans le traitement mathématique de Planck, chaque fréquence du champ électromagnétique est associée à un ensemble d’oscillateurs, chacun émettant à une fréquence donnée, pas nécessairement des harmoniques. Mais dans certaines interprétations pédagogiques (ou semi-classiques), on peut imaginer que les systèmes ne peuvent émettre que des photons de fréquence `n nu_0`​. Souhaites-tu que je t'explique comment Planck a trouvé sa formule à partir de ces hypothèses ? Ou que je te montre en quoi ce modèle évite l'ultraviolet catastrophe contrairement à Rayleigh-Jeans ?

 

Comment Planck a trouvé sa formule et à partir de quelles hypothèses précisément ?

Excellent ! On va rentrer dans le cœur du sujet : comment Planck a dérivé sa loi du rayonnement, à partir de quelles hypothèses précises, et quelles idées révolutionnaires il a dû introduire. Le contexte : le problème du rayonnement du corps noir À la fin du XIXe siècle, la physique classique prédisait (via la loi de Rayleigh-Jeans) que l’énergie rayonnée par un corps noir augmentait indéfiniment avec la fréquence — ce qui menait à une catastrophe ultraviolette : une énergie infinie dans le domaine UV, ce qui est absurde. Planck voulait trouver une formule qui corresponde aux résultats expérimentaux mesurés (notamment ceux de Lummer et Pringsheim). Les hypothèses fondamentales de Planck 1) Le mur de la cavité est formé d'oscillateurs électromagnétiques : → Il imagine le corps noir comme une cavité dans les parois de laquelle se trouvent des oscillateurs harmoniques électromagnétiques, chacun à une fréquence `nu`. 2) Les oscillateurs peuvent échanger de l’énergie avec le champ électromagnétique du vide dans la cavité. 3) L’énergie des oscillateurs est quantifiée : → C’est l’hypothèse révolutionnaire de Planck : un oscillateur de fréquence `nu` ne peut avoir que des énergies discrètes :. `E_n=n h nu`    avec    `n=0,1,2,…` où `h` est une constante qu’il introduit pour l’occasion (la fameuse constante de Planck). 4) Les oscillateurs sont en équilibre thermique à la température `T` : → La probabilité d’être dans l’état d’énergie `E_n` suit la loi de Boltzmann : `P_n=exp(−(nh nu)/(k_BT))/Z`    ou    `Z=sum_(n=0)^oo exp(−(nhnu)/(k_BT))` Le calcul de Planck (étape par étape) 1) Il cherche l’énergie moyenne d’un oscillateur à la fréquence `nu` : `"⟨"E"⟩" = sum_(n=0)^oo E_nP_n=sum_(n=0)^oonh nu ⋅ exp(−(nh nu)/(k_BT))/Z` On connaît la somme géométrique : `Z=sum_(n=0)^oo exp(−nx)=1/(1−e^(−x)),    x=(h nu)/(k_BT)` Et : `"⟨"E"⟩"=(hnu)/(exp((hν)/(k_BT))−1)`   2. Ensuite, il multiplie cette énergie moyenne par la densité de modes du champ électromagnétique dans une cavité (nombre de modes par unité de fréquence et par unité de volume) : `ρ(ν,T)=(8πν^2)/(c^3)"⋅⟨"E"⟩"=(8πhν^3)/(c^3)"⋅"1/(exp((hν)/(k_BT))−1)` C’est la loi de Planck du rayonnement spectral (en fréquence). Résultat final : En fonction de la fréquence : `ρ(ν,T)=(8πhν^3)/c^3"⋅"1/(exp((hν)/(k_BT))−1)` En fonction de la longueur d’onde (après changement de variable) : `ρ(λ,T)=(8πhc)/λ^5"⋅"1/exp((hc)/(λk_BT)−1)` Ce qui est révolutionnaire dans tout ça : Quantification de l’énergie : c’est la première fois que l’énergie n’est pas supposée continue.   Il n’interprétait pas encore ces quanta comme des « particules de lumière » (ça, ce sera Einstein en 1905).   Planck cherchait au départ une astuce mathématique pour coller aux données, mais il a fini par créer un changement de paradigme qui a lancé la physique quantique. Souhaites-tu qu’on fasse le calcul ensemble dans le détail ? Ou que je t’explique comment la loi de Rayleigh-Jeans ou celle de Wien apparaissent comme limites de la loi de Planck ?

 

Peut-on à partir du spectre du corps noir et en reprenant l'hypothèse de Planck déduire qu'elle est la probabilité qu'un oscillateur de fréquence `nu` dans un état d'énergie `nhnu` puisse émettre un photon d'énergie `hnu` ?

Très belle question, profonde et subtile — on est pile à la frontière entre statistique quantique, émission de photons et probabilités de transition. Posons bien le problème pour en tirer une réponse claire. Le cadre de ta question Tu veux savoir, à partir de : La loi de Planck et son modèle d’oscillateurs quantiques de fréquence `ν`,   L’état d’un oscillateur dans un niveau d’énergie `E_n=nhν`,   L’énergie d’un photon émis lors d'une transition de `E_n→E_(n−1)`  (soit un photon de `hν`), Quelle est la probabilité qu’un oscillateur dans cet état émette un photon d’énergie `hν` ? D'abord, ce que Planck n'a pas fait… Planck n’a pas directement introduit de probabilités de transition (émission/absorption spontanée ou stimulée). Il travaillait avec des moyennes d’énergie en équilibre thermodynamique, et non avec des dynamiques de transitions quantiques. Pour obtenir des probabilités d’émission, on doit aller un peu plus loin, comme l’a fait Einstein en 1916, en introduisant les coefficients A et B. Mais on peut déjà déduire des choses du modèle de Planck, surtout si on suppose que l’émission d’un photon correspond à une transition quantique `E_n→E_(n−1)​`. Réflexion étape par étape 1. Distribution des populations (loi de Boltzmann) La probabilité que l’oscillateur soit dans l’état `E_n=nhν` à l’équilibre thermique est : `P(n)=exp(-(nhν)/(k_BT))/Z`    avec    `Z=sum_(n=0)^oo exp(−(nhν)/(k_BT))=1/(1−exp(-(hν)/(k_BT)))` Donc : `P(n)=(1−exp(−(hν)/(k_BT)))exp(−(nhν)/(k_BT))` C’est une distribution géométrique décroissante. 2. Supposons maintenant que l’émission d’un photon d’énergie `hν` corresponde à une transition de `E_n→E_(n−1)` Alors, la probabilité que cette émission ait lieu dépend de deux choses : Que le système soit dans l’état `n` (probabilité `P(n)`),   Que l’oscillateur effectue la transition vers `n−1`, ce qui a une certaine probabilité conditionnelle `p_(n→n−1)​` (inconnue a priori). Donc la probabilité absolue que l’oscillateur émette un photon `hν` depuis l’état `n` est : `bbbP_"émission"(n)=P(n)⋅p_(n→n−1)` 3. Peut-on trouver `p_(n→n−1​)` à partir du spectre ? Pas directement avec la loi de Planck seule, mais on peut en déduire des rapports de probabilités grâce à Einstein.   Ce qu’Einstein a fait en 1916 (très lié à ta question) : Il a postulé trois processus pour un système à deux niveaux : Absorption stimulée : niveau bas → niveau haut (absorption d’un photon),   Émission stimulée : niveau haut → bas (déclenchée par un photon),   Émission spontanée : niveau haut → bas (sans déclencheur). Il en a déduit, pour un système à deux niveaux d'énergie `E_1​` et `E_2"="E_1"+"hν`, que : `P_2/P_1=(g_2)/(g_1)⋅exp(-(hν)/(k_BT))`    (avec `g_i` les dégénérescences) Et que le taux d’émission spontanée est proportionnel au nombre d’atomes dans l’état `E_2​`, c’est-à-dire : `R_"spontanée"∝P_2=exp(−(hν)/(k_BT))` Cela signifie que, plus le niveau d’énergie est haut, moins il est peuplé, et moins il y a de chances d’émettre un photon (spontané ou stimulé). Donc, pour répondre clairement à ta question : Peut-on, à partir du spectre du corps noir et de l’hypothèse de Planck, déduire la probabilité qu’un oscillateur dans l’état `nhν` émette un photon de `hν` ? Réponse : On ne peut pas connaître la probabilité absolue de transition `p_(n→n−1)` ​ juste avec le spectre, mais : On peut dire que la probabilité globale d’émission d’un photon depuis l’état `n` est proportionnelle à : `bbbP_"émission"(n)∝exp(−(nhν)/(k_BT))` donc exponentiellement décroissante avec `n`. Cela reflète le fait que l’émission de photons provient surtout des niveaux bas (petits `n`), car ils sont bien plus peuplés. Souhaites-tu que je t’explique comment les coefficients d’Einstein permettent de retrouver la loi de Planck en tenant compte de ces probabilités de transition ?

 

Oui

Parfait ! On va maintenant voir comment Einstein, en 1916, a reformulé le problème du rayonnement du corps noir en introduisant des probabilités de transition entre niveaux d’énergie, ce qui donne une interprétation dynamique (en termes de transitions) de la loi de Planck. Objectif d’Einstein Einstein cherche à retrouver la loi de Planck à partir des hypothèses sur les probabilités de transitions entre deux niveaux d’énergie d’un système (atome, oscillateur, etc.), en interaction avec un champ électromagnétique. Il considère un système à deux niveaux d’énergie : `E_1`​ : niveau bas,   `E_2=E_1"+"hν` : niveau excité,   `ν` est la fréquence associée à la transition. Einstein introduit 3 processus fondamentaux Processus Transistion Description Taux (probabilité par unité de temps Absorption  `E_1→E_2`  L’atome absorbe un photon `hν`  `B_12⋅ρ(ν)`  Emission stimulée  `E_2→E_1`  L’atome émet un photon, déclenché par un photon incident  `B_21⋅ρ(ν)`  Emission spontanée  `E_2→E_1`  L’atome émet un photon spontanément  `A_21`  `ρ(ν)` = densité spectrale d’énergie du champ électromagnétique à la fréquence `ν`. `A_21​, B_12​, B_21`​ sont les fameux coefficients d’Einstein. Équilibre thermodynamique À l’équilibre, le nombre de transitions montantes = nombre de transitions descendantes : `N_1​B_12​ρ(ν)=N_2​[A_21​+B_21​ρ(ν)]` Avec `N_1, N_2`​ les populations des niveaux 1 et 2. Et comme les populations à l’équilibre suivent la loi de Boltzmann : `N_2 / N_1=exp(-(hν)/(k_BT))` On injecte ça dans l’équation d’équilibre : `B_12ρ(ν)=exp(−(hν)/(k_BT))[A_21+B_21ρ(ν)]` Résolution : retrouver `ρ(ν)` On isole `ρ(ν)` : `ρ(ν)(B_12−exp(−(hν)/(k_BT))B_21)=exp(−(hν)/(k_BT))A_21` Donc : `ρ(ν)=A_21 / (B_12exp((hν)/(k_BT))−B_21)` Pour retrouver la loi de Planck, il faut que cette expression coïncide avec : `ρ_"Planck"(ν)=(8πhν^3)/(c^3)⋅1/(exp((hν)/(k_BT))−1)` Identification des coefficients d’Einstein Pour que les deux expressions soient équivalentes pour tout `T`, il faut que : 1. `B_12=B_21` ​ (égalité des coefficients d’absorption et d’émission stimulée), 2. Le rapport `A_21 / B_21` donne le facteur pré-exponentiel : `A_21 / B_21 = (8πhν^3) / c^3` Interprétation physique `A_21`​ donne la probabilité par unité de temps d’émission spontanée d’un photon `hν` depuis le niveau 2.   `B_21⋅ρ(ν)` donne la probabilité d’émission stimulée.   L’équilibre entre les trois processus reproduit le spectre du corps noir. Et surtout : L’émission spontanée est à l’origine du rayonnement thermique à haute fréquence, car même en l’absence de photons incident, des atomes peuvent émettre. Conclusion Oui, à partir de l’hypothèse de Planck et de la thermodynamique, Einstein a déduit les probabilités de transition élémentaires qui, combinées, reproduisent le spectre du corps noir. C’est une étape décisive vers la mécanique quantique, car elle introduit : Les transitions entre niveaux quantiques, Le rôle du champ électromagnétique dans les transitions, Et surtout : le caractère probabiliste fondamental de l’émission et de l’absorption de lumière. Si tu veux, on peut faire une simulation numérique simple pour visualiser ces taux, ou voir comment ça conduit à la statistique de Bose-Einstein !

 

---- 8 avril 2025 ----

3) Le rayonnement du corps noir

Soit une cavité vide creusé dans une matière et dont les parois sont portées à une certaine température `T` constante. Les atomes composant les parois émettent de façon permanente un rayonnement électromagnétique et absorbent celui émis par les autres atomes de ces parois. Lorsque l'équilibre statistique est atteint, à chaque instant l'énergie émise par les atomes est égale à l'énergie absorbée.