C'est la distribution correspondant à la plus grande entropie.
Posons la question à ChatGPT 4o:
La Distribution de Boltzmann.
On considère un système composé de `N` particules, où chaque particule peut être dans `n` états d'énergie `e_1,e_2,e_3,...,e_n`.
Le nombre de particules dans l'état `i` est noté `N_i`.
L'indice `i` désigne un état possible d'une particule. `i` appartient à `{1,2,3,...,n}`.
L'énergie totale `E` est la somme des énergies de toutes les particules :
`E = sum_i N_i"·"e_i`
La probabilité `p_i` qu'une particule soit dans l'état `i` est :
`p_i = N_i/N`
L'énergie `E` divisée par `N`, définit l'énergie moyenne des particules noté `e` :
`e=sum_i p_i"·"e_i`
A chaque distribution des particules `p_1,p_2,p_3,...,p_n` correspond une entropie `S` définit comme suit :
`S= - sum_i p_i"·"ln(p_i)`
La distribution de Maxwell-Boltzmann, est la distribution `p_1,p_2,p_3,...,p_n` tel que l'entropie soit maximum.
Pouvez-vous à partir de ces hypothèses expliquer comment Boltzmann aboutit à sa distribution, et avec qu'elles outils mathématiques ?
Pour comprendre comment Boltzmann aboutit à sa distribution, il faut résoudre un problème de maximisation de l'entropie `S` sous contraintes. On va donc utiliser un outil mathématique central de la physique statistique : la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
Voici une explication pas à pas :
Objectif : Maximiser l'entropie
On veut maximiser l'entropie :
`S=−sum_(i=1)^n p_i ln(p_i)`
où `p_i` est la probabilité qu'une particule soit dans l’état `i`, et donc `sum_i p_i=1`.
Contraintes
Conservation du nombre total de particules :
`sum_(i=1)^n p_i=1`
Conservation de l’énergie moyenne :
`sum_(i=1)^n p_i e_i=bar e`
Méthode des multiplicateurs de Lagrange
Pour maximiser `S` sous ces deux contraintes, on introduit deux multiplicateurs de Lagrange : `α` pour la contrainte de normalisation, et `β` pour la contrainte d’énergie.
On définit la fonction à maximiser :
`ccL(p_1,...,p_n,α,β)=−sum_(i=1)^n p_i ln(p_i)−α(sum_(i=1)^n p_i−1)−β(sum_(i=1)^n p_ie_i− bar e)`
Calculs
On dérive cette fonction par rapport à chaque `p_i`, et on impose que la dérivée soit nulle (condition d’extremum) :
`(∂L)/(∂p_i) = −ln(p_i)−1−α−βe_i = 0`
Ce qui donne :
`ln(p_i)=−1−α−βe_i`
Donc :
`p_i=e^(−1−α)e^(−β e_i)`
Interprétation
On peut regrouper les constantes dans une constante de normalisation `Z` (appelée fonction de partition) :
`Z=sum_(i=1)^n e^(−βe_i)`
Et on obtient la distribution de Boltzmann :
`p_i=(e^(−βe_i))/Z`
Le paramètre `β`
Dans un contexte physique, on montre que `β=1/(k_BT)`, où :
- `k_B` est la constante de Boltzmann,
- `T` est la température du système.
Résumé
Outils utilisés :
- Maximisation de fonction sous contraintes,
- Méthode des multiplicateurs de Lagrange.
Résultat : La distribution qui maximise l’entropie sous contraintes de normalisation et d’énergie moyenne est :
`p_i=(e^(−βe_i)) /Z`
C’est la distribution de Boltzmann, cœur de la statistique classique (Maxwell-Boltzmann), utilisée pour décrire les systèmes à l’équilibre thermique.
Souhaites-tu que je fasse un petit exemple numérique ou un graphique pour visualiser cette distribution ?
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