Comme semble le démontrer notre étude, les équations du monde peuvent être déduites par le seul raisonnement. On prétend qu'une intelligence n'ayant aucune connaisance du monde ni aucun moyen d'expérimentation, peut, par le seul raisonnement déduire les équations du monde.
Appliqué à notre sujet, le premier acte du raisonnement consistera à démontrer l'impossibilité d'une action à distance instantanée.
Le paradoxe est similaire à celui qui permit aux Grecs de définir l'atome sans jamais l'avoir vu. « Est-il possible de diviser indéfiniment la matière sans que celle-ci ne finisse par changer de nature ? ». C'est en répondant « non » à cette question que les Grecs ont défini l'atome, la plus petite parcelle de matière qui ne peut pas être divisée sans que celle-ci ne change de nature. Ce choix est une conséquence de considération cosmologique, un raisonnement par l'absurde. Si on peut diviser indéfiniment la matière et concevoir ainsi des quantités de matière infiniment petites et des espaces infiniment petits, on peut alors concevoir des mondes infiniments petits, en quantité infinie et en tout lieu... C'est une hypothèse aux conséquences assurement impondérables. Tout est alors dans tout..., ce qui rend incohérent le tout.
On fait le même raisonnement pour l'action à distance. Si l'action à distance instantanée existe alors tout est en interaction avec tout..., aucune frontière n'existe... C'est une hypothèse aux conséquences assurement impondérables. Le monde devient un chaos indescriptible..., où tout est alors dans tout..., ce qui rend incohérent le tout.
Donc si l'action à distance n'est plus instantanée, elle a un retard, que l'on explique par la propagation d'un champ qui porte cette action à distance.
Le second acte du raisonnement établit un principe de relativité. Il n'existe pas de référentiel absolu. Si on se place dans un monde constitué d'un espace vide sans champ de gravité ni champ d'inertie, les équations du monde doivent être invariantes lorsque l'on change de référentiel en translation uniforme. Dans un tel référentiel, qualifié d'inertiel, toute particule qui n'est soumise à aucune force se déplace en ligne droite et à vitesse constante.
Le troisième acte va considérer l'interaction fondamentale caractérisant l'espace-temps qu'est l'électromagnétisme, ce qui aboutit aux équations de Maxwell, et fait apparaître la constante `c` représentant l'unique vitesse absolue.
Dans notre périgrination à vouloir démontrer que toutes nos connaissances fondamentales peuvent être déduites par le seul raisonnement, on emprunte nécessairement une démarche éminemment constructive renouant avec la notion de génèse. On considère dans cette partie, un univers d'espace unidimensionnel dont la naissance sera rediscutée plus tard, l'approche génésique devant elle-même se faire par étape. L'univers n'ayant qu'une dimension de temps et qu'une seule dimension d'espace, le raisonnement sera beaucoup plus simple.
Il suffit là encore de suivre le Lapin blanc* qu'est le photon pour découvrir la relativité restreinte. C'est à partir du postulat affirmant que la vitesse de la lumière est la même dans tout référentiel inertiel, que l'on déduit les règles de changement de référentiel que sont les transformations de Lorentz ici à une seule dimension d'espace et une seule dimension de temps.
Jusqu'alors la physique était newtonienne et ne considérait qu'un seul temps idendique en tout point de l'espace, et s'écoulant donc nécessairement à la même vitesse, une absence d'effet de la relativité générale.
Et elle considérait que la vitesse de translation de l'observateur dans le laboratoire n'avait comme effet dans le référentiel de l'observateur que de translater avec une vitesse opposée tout ce qui était dans le référentiel du laboratoire, une absence d'effet de la relativité restreinte. Les référentiels étaient galiléens, c'est à dire, qu'un changement de référentiel en translation uniforme se traduisait par une simple translation uniforme opposée de la coordonnée d'espace.
Le postulat de la constance de la vitesse de la lumière va remettre en cause cela. Il nous oblige à concevoir des règles de calcul non-galiléennes mais toujours linéaires de changement de référentiel, qui intègre cette étonnante propriété de la lumière qu'est la constance de sa vitesse en norme idendique dans chaque référenciel inertiel, définissant ainsi une vitesse absolue constituant la première constante universelle `c`, et une trajectoire unidirectionnelle dans chaque référentielle inertiel.
On constatera que ces règles de calcul tendent au cas galiléen lorsque la vitesse de translation est faible vis-à-vis de la vitesse de la lumière.
La raison pour laquelle la transformation des coordonnées doit être linéaire (et aussi pour laquelle `c` doit être identique dans tous les référentiels inertiels) découle de considération sur l'invariance des lois physiques et de la transformation elle-même lorsque l'on change de référentiel inertiel selon une translation uniforme. La transformation galiéenne des coordonnées est une application linéaire des coordonnées d'espace et de temps où seul la coordonnée d'espace est affectée, tandis que la transformation relativiste va affecter également la coordonnée de temps, dévoilant ainsi une même nature de constitution de l'espace et du temps.
Le photon joue un rôle fondamental, quasiment axiomatique, dans la structure de l'espace-temps. Il est lié à cet espace-temps d'une façon telle que sont comportement se résume au seul comportement de cet espace-temps. On peut dire qu'il concrétise à lui-seul l'essentiel des propriétés de l'espace-temps. Il se déplace dans le vide à la vitesse `c`, la seule vitesse qui soit absolue (perçu identiquement dans tous les référentiels inertielles), et il ne veillit pas. Pour le photon, il est absorbé au même instant qu'il est émis, même si pour d'autres observateurs il a traversé d'immenses distances en des durées gigantesques.
La vitesse `c` étant absolue, il n'y a pas besoin de définir d'unité spécifique pour la mesurer. C'est la raison pour laquelle les physiciens ont défini un second système d'unités dites relativistes, dans lequel les vitesses sont des nombres sans unité, désignant une fraction de `c`, et où `c` est égal à `1`. Dans ce système, si l'unité de temps est la seconde alors l'unité de distance est la seconde-lumière, la distance parcourue par la lumière en une seconde (environ 300 000 km).
On considère un premier référentiel souvent appelé référentiel du laboratoire. Il regroupe en fait toute la subjectivité de l'observateur que nous sommes placé dans cet univers. Un référentiel n'est pas juste une position spatiale et son déplacement au cours du temps par rapport à un autre référentiel. Il peut contenir d'autres informations. Il peut contenir par exemple le sens +1 ou -1 de l'axe de la charge électrique, le sens +1 ou -1 de l'axe du temps, le sens +1 ou -1 de l'axe de l'espace, etc.. Car il y a une multitude de symétries dans l'univers telles que si on inverse les signes des charges électriques, de même si on inverse le sens du temps, de même si on inverse le sens de l'axe de l'espace comme à travers un miroir, etc.. Et c'est justement le rôle du référentiel que de préciser dans quel monde symétrique on se situe, et qui prédispose ainsi la subjectivité de l'observateur qu'il représente.
De la notion d'observateur vient celle du référentiel puis celle de la particule qui lui est associé. On munit la particule d'un référentiel qui l'accompagne partout, et les particules s'observent mutuellement. Et on munit le référentiel d'une particule fantôme fixée en son origine et qui ainsi l'accompagne partout. Le référentiel devient l'équivalent d'une particule élémentaire à ceci près qu'il peut ne pas intéragire avec les autres particules telle une particule fantôme, et, ne subissant alors aucune interaction extérieure, suivre selon le principe d'inertie dans un espace sans champ de gravité ni champ d'inertie, un mouvement de translation uniforme. Cela désigne les référentiels inertiels que l'on complète par l'ajout de paramètres supplémentaires correspondant aux symétrie de l'univers. Mais les symétries considérées ici de prime abord doivent vérifier les trois règles suivantes :
Remarquez qu'il n'est pas nécessaire de faire appel à des particules pour définir le changement de coordonnées entre deux référentiels quelconques. Néanmoins le référentiel s'apparentant à une particule, une particule fixée sur le point spatial origine du référentiel et dont l'âge est identique à l'âge du référentiel qui est son temps propre, il est commode d'y recourir.
Considérons un premier référentiel qu'est le référentiel du laboratoire `"A"`.
On note `t` son temps propre. C'est le temps qui s'affiche sur une horloge fixée au point spatial origine du référentiel `"A"`.
Considérons un second référentiel quelconque `"B"` sur lequel nous n'avons pas d'information.
On note `t’` son temps propre. C'est le temps qui s'affiche sur une horloge fixée au point origine spatial du référentiel `"B"`.
L'originalité introduite par Einstein consiste à libérer la variable de temps propre du référentiel, faisant qu'il n'y a plus de lien d'égalité directe entre `t` et `t’`, mais un lien fixé par la transformation de référentiel et donc dépendant de la coordonnée d'espace.
Considérons un évènement ponctuel instantané. Celui-ci possède des coordonnées dans le référentiel `"A"` que l'on regroupe en un vecteur position `(t,x)`. Cela indique la date et le lieu où se déroule l'évènement dans le référentiel `"A"`. Puis il possède aussi des coordonnées dans le référentiel `"B"` que l'on regroupe en un vecteur position `(t’,x’)`. Cela indique la date et le lieu où se déroule l'évènement dans le référentiel `"B"`. Et il existe une transformation `varphi` permettant de calculer les coordonnées de l'évènement dans le référentiel `"B"` à partir des coordonnées de l'évènement dans le référentiel `"A"` :
`(t’,x’)=varphi(t,x)`
La transformation `varphi` correspond à un changement de référentiel passant de `"A"` à `"B"` que l'on note sous le même nom, mais de façon inversée :
`"B" = varphi^-1("A")`
On choisit cette convention en prenant exemple sur le cas d'une transformation simple des coordonnées correspondant à un déplacement d'une unité sur l'axe d'espace. La coordonnée d'espace est augmentée d'une unité, et cela correspond à un déplacement inverse du référentiel c'est à dire à déplacer le référentiel de `-1` sur l'axe de l'espace. C'est pourquoi on choisit de faire correspondre la transformation du référentiel à l'inverse de la transformation des coordonnées. On constate alors que les transformations de coordonnées qui sont des applications affines constituent des outils pour construire de nouveaux référentiels.
Considérons un premier évènement :
On note `x_1` sa position spatiale dans `"A"` à l'instant `t_1` du référentiel `"A"`.
On note `x_1’` sa position spatiale dans `"B"` à l'instant `t_1’` du référentiel `"B"`.
Le vecteur position de l'évènement dans `"A"` est `(t_1,x_1)`.
Le vecteur position de l'évènement dans `"B"` est `(t_1’,x_1’)`.
Considérons un second évènement :
On note `x_2` sa position spatiale dans `"A"` à l'instant `t_2` du référentiel `"A"`.
On note `x_2’` sa position spatiale dans `"B"` à l'instant `t_2’` du référentiel `"B"`.
Le vecteur position de ce second évènement dans `"A"` est `(t_2,x_2)`.
Le vecteur position de ce second évènement dans `"B"` est `(t_2’,y_2’)`.
Les coordonnées d'un évènement dans le référenciel `"B"` sont notées avec les mêmes lettres que celles utilisées dans le référenciel `"A"` mais munies d'une apostrophe. Et on passe de l'un à l'autre à l'aide de la transformation `varphi` des coordonnées qui transforme les coordonnées exprimées dans `"A"` en celles exprimées dans `"B"`, ou autrement-dit, qui transforme le vecteur position de l'évènement dans `"A"` en le vecteur position du même évènement mais exprimé dans `"B"` :
`(t_1’,x_1’)=varphi(t_1,x_1)`
`(t_2’,x_2’)=varphi(t_2,x_2)``"B" = varphi^-1("A")`
Connaissant la transformation des coordonnées `varphi`, on connait la trajectoire du référentiel `"B"` dans `"A"` et la trajectoire du référentiel `"A"` dans `"B"`. Considérez que chaque référentiel est associé à une particule fantôme fixée à son point spatial origine et dont les temps propres coincïdes. La position spatiale de la particule dans son propre référentiel est donc égale à zéro. L'évènement de cordonnée `(t,0)` dans `"A"` indique la position de `"A"` dans `"A"` à l'instant `t` du référentiel `"A"`. C'est le vecteur position de `"A"` dans `"A"`. En procédant à la transformation des coordonnées `varphi(t,0)` on obtient le vecteur position de `"A"` dans `"B"` noté :
`(t’,A’)=varphi(t,0)`.
Et réciproquement, le vecteur position de `"B"` dans `"B"` est (t’,0), puis en appliquant la transformation inverse `varphi^-1(t’,0)` on obtient le vecteur position de `"B"` dans `"A"` noté :
`(t,B)=varphi^-1(t’,0)`.
Pour indiquer que la position `A’` du référentiel `"A"` exprimée dans le référentiel `"B"` est une fonction du temps propre du référentiel `"B"`, et que réciproquement la position `B` du référentiel `"B"` exprimée dans le référentiel `"A"` est une fonction du temps propre du référentiel `"A"`, on note les neurones suivants :
`A’←t’`
`B←t`
La déclaration des neurones formalisent la notation du physicien, la notation des variables `A’,B` sous forme de fonctions `A’("."), B(".")` avec comme argument par défaut respectivement `t’, t`, faisant que nous avons les égalités implicites suivantes :
`A’ = A’(t’)`
`B = B(t)`
La fonction `t’ "↦" A’(t’)` représente la trajectoire de `"A"` exprimée dans le référentiel `"B"`.
La fonction `t "↦" B(t)` représente la trajectoire de `"B"` exprimée dans le référentiel `"A"`.
Etant donné une particule `"P"`, celle-ci possède un âge qui est son temps propre, le temps de la particule `"P"` dans son propre référentiel, et qu'il ne faut pas confondre avec la coordonnée de temps de la particule dans le référentiel du laboratoire. La première est celle indiquée par une horloge fixée sur la particule, tandis que la seconde et celle indiquée sur l'horloge du laboratoire fixée sur le point spatial origine du référentiel du laboratoire. Les coordonnées d'une particule sont toujours relatives à un référentiel. Le vecteur position de la particule `"P"` dans le référentiel `"A"` se note `(t,P)`, il indique que la particule `"P"` se situe à la position spatiale `P` du référentiel `"A"` à l'instant `t` du référenciel `"A"`. Et dans le référenciel `"B"`, le vecteur position de la particule se note `(t’,P’)`, il indique que la particule `"P"` se situe à la position spatiale `P’` du référentiel `"B"` à l'instant `t’` du référenciel `"B"`.
Pour indiquer que la position `P` de la particule dans chaque référentiel est une fonction du temps propres de celui-ci, on note les neurones suivants :
`P←t`
`P’←t’`
La déclaration des neurones formalisent la notation du physicien, la notation des variables `P,P’` sous forme de fonctions `P("."), P’(".")` avec comme argument par défaut respectivement `t, t’`, faisant que si les variables `P` et `P’` apparaissent en étant appliqués à aucun argument, elles sont appliquées de manière implicite à leur argument par défaut respectivement `t` et `t’`. Autrement-dit :
`P = P(t)`
`P’ = P’(t’)`
Un référentiel peut être considéré comme une particule fantôme fixée en son point spatial origine et dont l'âge coïncide avec le sien. Notez que le vecteur position de `"P"` dans son propre référentiel est `(tau,0)` telle une particule fantome fixée au point spatial `0` d'un référentiel et dont l'horloge coïncide avec celle du référentiel ici nommé `tau`. De même, le vecteur position de `"A"` dans `"A"` est `(t,0)`. De même, le vecteur position de `"B"` dans `"B"` est `(t’,0)`.
Le référentiel est qualifié d'inertiel s'il ne contient pas de champ de gravité ni de champ d'inertie c'est à dire si dans ce référentiel chaque particule soumise à aucune force possède une vitesse constante.
Considérons une particule `"P"` en mouvement quelconque dans un référentiel inertiel. Notons son vecteur position `(t,P)`. La position spatiale `P` est fonction de `t`, et on le déclare par le neurone `P"←"t`. A chaque fois que l'on rencontre `P` sans argument, c'est qu'il est appliqué à son argument par défaut `t`, c'est à dire `P"="P(t)`.
Le principe de relativité impose que la vitesse de la lumière dans le vide est la même en norme notée `c` dans tout référentiel inertiel, et que dans chaque référentiel inertiel la lumière suit une trajectoire de direction constante. Délors, la lumière mettant un certain temps à parcourir la distance entre `"P"` et le point spatial origine du référentiel où se situe l'observateur, celui-ci voit la particule `"P"` dans une position retardée qui se distingue donc de la position réel de la particule dans le référentiel. Calculons cette positon. La position retardée se calcul par itération en calculant le temps nécessaire pour que la lumière parcourt la distance `P`. Les temps retardés calculés par itération se note dans le système d'unités classiques et relativistes comme suit :
`t`
`t - P/c`
`t - (P(t - P/c))/c`
`t - (P(t - (P(t - P/c))/c))/c`
...`t`
`t - P`
`t - P(t - P)`
`t - P(t - P(t - P))`
...
On classifie l'importance des effets de retard dans le cas où la vitesse de la particule `P` reste d'un ordre inférieur à `c` :
(`c"="1`)
en unités classiquesAucun retard Retard du premier ordre Retard du second ordre Retard du troisième ordre Retard du quatrième ordre
L'approche constructive va d'abord s'intéresser aux symétries les plus simples de l'univers qui sont des aplications affines et aux transformations des coordonnées qui leur sont associées. Changer de référentiel est une opération réversible. C'est comme changer de point de vue, et, changer de point de vue est quelque chose de réversible car on peut toujours revenir sur le point de vue initial. Les transformations des coordonnées sont donc par principe réversibles. Étant données deux référentiels quelconques `"A"` et `"B"`, et considérons `varphi` la transformation des coordonnées qui transforme les coordonnées `(t,x)` d'un évènement exprimées dans `"A"` en les coordonnées `(t’,x’)` du même évènement exprimées dans `"B"`, nous avons :
`(t’,x’)=varphi(t,x)`
`"B" = varphi^-1("A")`
La transformation des coordonnées est vue comme une transformation inverse de celle du référentiel. Et on utilise le même nom de fonction ici `varphi` qui selon le type d'argument transforme soit des coordonnées ou soit un référentiel. Chaque découverte d'une nouvelle symétrie affine de l'univers va créer de nouveaux référentiels symétriques utilisant cette nouvelle symétrie pour se distinguer des autres et que l'on construit grace à la transformation inverse qui s'applique aux coordonnées et qui définit cette symétrie.
Les transformations que l'on utilise appliquées à un référentiel inertiel, devront être reversibles, affines, respecter l'invariance de la norme de la vitesse de la lumière `c`, conserver la propriété que la lumière devra toujours avoir une trajectoire unidirectionnelle, et on ajoute une condition supplémentaire, celle de ne pas produire de particule allant plus vite que la vitesse de la lumière. Ainsi ces transformations transformerons tout référentiel inertiel en référentiel inertiel.
A partir d'un ensemble de telles transformations de référentiel posées comme générateurs, on engendre un groupe de transformations qui appliqué au référentiel inertiel du laboratoire `"A"` va engendrer un ensemble de référentiels inertiels nécessairement stable par ces transformations. On a vite fait le tour de ces transformations de coordonnées possibles et finalement on a vite fait d'être exhaustif. Il existe 5 types de générateurs engendrant l'ensemble de toutes ces transformations, et qui appliqué à `"A"` engendrerons tous les référentiels inertiels :
Les déplacements ne changent pas les vitesses des particules. Idem pour le changement d'échelle car si l'étalon de distance et l'étalon de temps sont multipliés par un même facteur cela ne change pas la norme des vitesses. L'inversion du sens de l'espace ainsi que l'inversion du sens du temps pris isolément change le signe des vitesses (`dx"/"dt`) mais ne change pas la norme des vitesses ni l'aspect unidirectionnelle des trajectoires lumineuses.
On connait le déplacement spatial qui consiste à déplacer l'origine du référenciel d'une distance donnée `X`. Le même principe s'applique pour le temps, cela consiste à tourner l'horloge du référentiel d'un intervalle de temps donnée `T`. On définit la transformation de référentiel `ccD⟨T,X⟩` qui déplace l'origine du référentiel de `X` unités d'espace et de `T` unités de temps. La transformation des coordonnées qui y est associée va décaler les coordonnées dans le sens inverse :
Déplacement appliqué à un référentiel : `ccD⟨T,X⟩("A")="B"` Déplacement inverse : `ccD⟨T,X⟩^-1=ccD⟨"-"T,"-"X⟩` Déplacement appliqué à un vecteur position : `ccD⟨T,X⟩(t,x)=(t"-"T,x"-"X)`
On conçoit donc un référentiel qui s'est déplacé `ccD⟨T,X⟩("A")`. Dans ce référentiel, l'observateur se souvenant de la situation où il était avant, voit tous les objets décalés de `-X` unités spatiales, et voit l'horloge de son référentiel décalée de `-T` unités temporelles.
On connait la transformation galiléenne des coordonnées dans `A` en celle dans `"B"` se déplaçant à la vitesse `v` et dont les évènements de coordonnées `(0,0)` dans `A` et dans `"B"` coïncident :
`t’ = t`
`x’= x-vt`
Mais ces transformations ne conservent pas la norme de la vitesse de la lumière. Et notamment, la loi de sommation des vitesses qui en découle permet d'avoir toutes sortes de vitesses de la lumière de normes différentes de `c`.
Les transformations de coordonnées en cas de translation uniformes ne sont pas simples à établir et font l'objets du chapitre suivant, c'est pourquoi nous définissons ici la transformation de référentiel sans calculer la transformation des coordonnées qui y est associée. La transformation de référentiel `ccL⟨v⟩` consiste à déplacer le référentiel avec une vitesse constante `v` dès l'instant `0` du référentiel initial et avec une horloge initialisée à l'instant `0`. Ces transformations qui ne dépendent que d'un seul paramètre `v` sont aussi appelées les transformations spéciales de Lorentz :
Translation uniforme appliquée à un référentiel : `ccL⟨v⟩("A")="B"` Translation uniforme inverse : `ccL⟨v⟩^-1=ccL⟨"-"v⟩` Translation uniforme appliquée à un vecteur position : `ccL⟨v⟩(t,x)=(t’,x’)`
Cette transformation des coordonnées est linéaire et peut être représentée par une matrice :
`ccL"⟨"v"⟩"=[(p,q),(r,s)]`
`ccL"⟨"v"⟩"[(t),(x)]=[(p,q),(r,s)][(t),(x)]=[(pt+qx),(rt+sx)]=[(t’),(x’)]`
`t’=pt+qx`
`x’=rt+sx`
Où `p,q,r,s`, sont des fonctions de `v`, ayant comme argument par défaut `v` :
`p←v`
`q←v`
`r←v`
`s←v`
Il n'y pas d'échelle absolue, car les lois jusqu'à présent sont invariantes par changement d'échelle. Le changement d'échelle consiste à remplacer l'observateur par un observateur plus grand de `k` fois aussi bien en taille que en intervalle de temps. Un observateur qui subit cette transformation verra tout autour de lui les objets diminués en taille de `k` fois et aller `k` fois plus vite.
La transformation des coordonnées correspondantes consiste à diviser la coordonnée d'espace et la coordonnée de temps par ce même facteur `k`. Cette transformation des coordonnées respecte bien l'invariance de la vitesse de la lumière `c` puisque cette vitesse est obtenue en divisant l'unité de distance par l'unité de temps, rapport qui reste inchangé si les étalons de distances et de temps sont multipliés par un même facteur `k">"0`. Et la lumière suit toujours une ligne droite puisque c'est une application affine.
Ces transformations de référentiel sont réversibles, linéaires, laissant invariant la vitesse de la lumière, et pour chaque référentiel inertiel la lumière suit bien une ligne droite. Ils peuvent donc être ajoutés au groupe des transformations. L'échelle jouera un rôle important plus tard dans la description de la relativité d'échelle.
On définit la transformation de référentiel `ccxi⟨k⟩` qui change d'échelle en multpliant les étalons d'espace et de temps par `k">"0`.
Changement d'echelle appliqué à un référentiel : `ccxi⟨k⟩("A")="B"` Changement d'echelle inverse : `ccxi"⟨"k"⟩"^-1=ccxi⟨1/k⟩` Changement d'echelle appliqué à un vecteur position : `ccxi"⟨"k"⟩"(t,x)=(t/k,x/k)`
On conçoit donc des référentiels `ccxi⟨k⟩("A")` où tout est `k` fois plus petit et où toutes les durées sont `k` fois plus petites. Dans ce référentiel, en supposant `k">"1`, l'observateur se retrouve agrandi en taille et les intervalles de temps pour ses actions se trouvent également agrandis provoquant donc un ralentissement dans ses mouvements mais qui sont plus amples. Il perçois les objets tout autour de lui comme ayant de plus petites tailles, et dont les intervalles de temps de leurs actions sont raccourcis provoquant une accélération de leurs mouvements néanmoins de plus petites tailles. Cette transformation des coordonnées est linéaire et peut être représenté par une matrice :
`ccxi"⟨"k"⟩"=[(1/k, 0),(0,1/k)]`
Si on place un miroir dans notre univers, alors de l'autre coté du miroir, tout se passe comme si l'axe de l'espace avait changé de sens. En révèlant cette symétrie, on conçoit l'existence de référentiels dans lesquel l'axe de l'espace est dans le sens opposé, et que l'on interpréte comme un point de vue subjectif propre à l'observateur qui est ici identifié au référentiel. L'inversion du sens de l'espace dans un espace unidimensionnelle peut se décrire comme suit : C'est un observateur qui tourne sur lui-même d'un demi-tour, et inverse ainsi le sens de son chemin.
On définie la transformation `ccσ` qui inverse le sens de l'axe de l'espace :
Inversion du sens de l'espace appliqué à un référentiel : `ccσ(A)="B"` Inversion du sens de l'espace inverse : `ccσ^-1 = ccσ` Inversion du sens de l'espace appliqué à un vecteur position : `ccσ(t,x)=(t,-x)`
On conçoit donc un référentiel symétrique `ccσ("A")`. Dans ce référentiel, l'observateur voit l'axe de l'espace dans le sens opposé. Cette transformation des coordonnées est linéaire et peut se représentée par une matrice :
`ccσ=[(1,0),(0,-1)]`
Par contre, pour l'inversion du sens du temps, le concept est un peu plus compliqué. Il faut considérer que les lois posées jusqu'à présent sont parfaitement symétriques à l'égard du temps, et donc que si on inverse le sens du temps, on obtient un déroulé qui obéït encore aux mêmes lois. L'expérience statistique semble contredire cela, car on ne constate pas de suite causale se déployant dans le sens inverse du temps. Mais cela ne prouve pas qu'il ne puisse pas y en avoir. Considérons une goutte d'encre tombant dans un verre d'eau. Si on inverse par un tour de magie, la vitesse de toutes les molécules, l'évolution se déroulera comme si on avait inversé le sens du temps.... Une conscience se définit par une mémoire s'actualisant constamment et sur laquelle s'opère un processus d'analyse et de reflexion, et cela se déroule dans le sens du temps. La mémorisation et les processus d'analyse et de reflexion en question obéïssent aux lois, et donc rien n'interdit de concevoir une conscience qui se déroulerait dans le sens inverse du temps. Notre référentiel, avec un sens du temps inversé, correspond à un observateur dont la conscience se déploierait dans ce sens du temps inversé, où sa mémoire ne retiendrait que les constats futures, et non les constats passés et ses processus d'analyse et de réflexion se déroulerait à l'envers. Pour un tel observateur, définissant un référentiel où le sens du temps est inversé, les loi de l'univers sont encore inchangé.
On définie la transformation `ccς` qui inverse le sens de l'axe du temps:
Inversion du sens du temps appliqué à un référentiel : `ccς(A)="B"` Inversion du sens du temps inverse : `ccς^-1 = ccς` Inversion du sens du temps appliqué à un vecteur position : `ccς(t,x)=(-t,x)`
On conçoit donc un référentiel symétrique `ccς("A")`. Dans ce référentiel, l'observateur vie dans le sens du temps inversé. Cette transformation des coordonnées est linéaire et peut donc se représentée par une matrice :
`ccς=[(-1,0),(0,1)]`
Considérons deux référentiels `"A"` et `"B"`,
On note `t` le temps propre de `"A"`.
On note `t’` le temps propre de `"B"`.
Et par convention les coordonnéées exprimées dans le référentiel `B` seront notées avec une apostrophe.
On note `B` la position spatiale du référentiel `"B"` à l'instant `t` dans le référentiel `"A"`.
Le vecteur position de `"B"` dans `"A"` est `(t,B)`.
La trajectoire de `"B"` dans `"A"` se formalise par le neurone `B"←"t`.
Ce neurone déclare que `B` est une fonction à un argument `B(".")` avec comme argument par défaut `t`, d'où l'égalité implicite `B = B(t)`. Appliquée à un temps `tau` c'est à dire `B(tau)`, il donne la position spatiale de `"B"` dans le référentiel `"A"` à l'instant `tau` du référentiel `"A"`.
On note `A’` la position spatiale du référentiel `"A"` à l'instant `t’` dans le référentiel `"B"`.
Le vecteur position de `"A"` dans `"B"` est `(t’,A’)`.
La trajectoire de `"A"` dans `"B"` se formalise par le neurone `A’ "←" t’`.
Ce neurone déclare que `A’` est une fonction à un argument `A’(".")` avec comme argument par défaut `t’`, d'où l'égalité implicite `A’ = A’(t’)`. Appliquée à un temps `tau’` c'est à dire `A’(tau’)`, il donne la position spatiale de `"A"` dans le référentiel `"B"` à l'instant `tau’` du référentiel `"B"`.
Le vecteur position de `"B"` dans `"B"` est `(t’,0)` tel le vecteur position d'une particule fantome fixée à l'origine spatiale du référentiel et dont l'horloge coïncide avec celle du référentiel. De même le vecteur position de `"A"` dans `"A"` est `(t,0)`.
Le référentiel obtenu par la transformation `ccL⟨v⟩` se note `"B"=ccL⟨v⟩("A")`. Il se translate uniformément à la vitesse `v` dans `"A"`, en étant calé c'est à dire tel que les évènements de coordonnées `(0,0)` dans `"A"` et dans `"B"` désigne le même évènement.
Le référentiel `"B"` se déplace dans le référentiel `"A"` avec une vitesse constante `v`, et à l'instant `t"="0` du référentiel `"A"` il se trouve à la position `B(0)"="0` dans le référentiel `"A"`. Puis, l'horloge de `"A"` qui est son temps propre noté `t’`, est égal à `0` lorsqu'il est en contacte avec `"B"` c'est à dire lorsqu'ils sont au même point spatio-temporel. Dans une telle situation, par symétrie, nécessairement le référenciel `"B"` voit le référenciel `"A"` se déplacer dans la direction opposée avec une vitesse constante `- v`, et calé pareillement. En résumé :
`B←t`
`A’←t’`
`B(t)=vt`
`A’(t’)="-"vt’`
La transformation des coordonnées permettant de calculer les coordonnées dans `"B"` à partir de celles dans `"A"`, est par principe linéaire, et s'écrit sous forme d'une matrice. Considérons un évènement de coordonnée `(t, x)` dans `"A"` et de coordonnées `(t’, x’)` dans `"B"`. La transformation des coordonnées s'écrit :
`[(t’),(x’)] = ccL"⟨"v"⟩"[(t),(x)] `
Où `ccL⟨v⟩` est une matrice fonction de `v` :
`ccL"⟨"v"⟩" = [(p,q),(r,s)]`
`[(t’),(x’)] = [(p,q),(r,s)][(t),(x)] `
`t’=pt+qx`
`x’=rt+sx`
Où `p,q,r,s`, sont des fonctions de `v` ayant comme argument par défaut `v` :
`p←v`
`q←v`
`r←v`
`s←v`
Le changement de `v` en `"-"v` peut s'obtenir en changeant le sens de l'axe d'espace. En partant du référentiel `"A"`, on peut construire le référentiel `ccσ("A")` dans lequel l'axe d'espace est dans le sens opposé, puis construire le référentiel `ccL⟨v⟩(ccσ("A"))` en translation uniforme de vitesse `v`, puis construire le référentiel `ccσ(ccL"⟨"v"⟩"(ccσ("A")))` dans lequel l'axe d'espace est remis dans le bon sens, pour obtenir le même référentiel que `ccL⟨"-"v⟩("A")`. Donc
`ccL⟨"-"v⟩ = ccσ ∘ ccL⟨v⟩ ∘ ccσ`
`ccL"⟨-"v"⟩" = [(1,0),(0,-1)][(p,q),(r,s)][(1,0),(0,-1)]`
`ccL"⟨-"v"⟩" = [(1,0),(0,-1)][(p,-q),(r,-s)]`
`ccL"⟨-"v"⟩" = [(p,-q),(-r,s)]`
Et comme `ccL"⟨-"v"⟩" = [(p(-v),q(-v)),(r(-v),s(-v))]` on en déduit que :
`p(-v)=p`
`q(-v)=-q`
`r(-v)=-r`
`s(-v)=s`
D'autre part :
`ccL("-"v)ccL(v) = "Id"`
`[(p,-q),(-r,s)]"×"[(p,q),(r,s)] = [(1,0),(0,1)]`
Le déterminant est identique pour `ccL⟨"-"v⟩` et `ccL⟨v⟩` et vaut `ps-qr` qui est donc égal à 1.
`p^2-qr=1`
`pq-qs=0`
`-rp+sr=0`
`-rq+s^2=1`
`ps-qr=1`
Donc `s=p`
Le même raisonnement peut s'appliquer en inversant le sens du temps, et cela abouti au même résultat.
Puisque la lumière se propage à la même vitesse dans tous les référentiels inertiels, on va faire une expérience de propagation lumineuse. On munie le référentiel `"A"` d'un appareil composé d'une source lumineuse fixée sur le point spatial zéro du référentiel, et sur lequel est fixé un canal de longueur `k` dans le sens positif de l'axe d'espace, et au bout du canal est fixé un miroir. On suppose qu'une émission de lumière se produit à l'origine de `"A"` à l'instant `0` de `"A"`. La lumière va parcourir le canal, se refléter sur le miroir à l'instant `t_2` de `"A"` et revenir à sa source à l'instant `t_3` de `"A"`.
On se place dans le référenciel du laboratoire `"A"` :
On calcul à quelle date `t_2` la lumière va atteindre le miroir. La distance parcourue par la lumière pendant l'intervalle de temps `t_2` est égal à la taille du canal dans le référentiel `"A"` qui est `k` , donc :
`c t_2= k`
`t_2=k/c`
Puis on calcul à quelle date `t_3` la lumière revient au point de départ. La distance parcourue par la lumière pendant l'intervalle de temps `t_3-t_2` est égal à la taille du canal dans le référentiel `"A"` qui est `k`, donc :
`c (t_3-t_2)= k`
`t_3=k/c + t_2`
`t_3 = (2k)/c`
On se place maintenant dans le référenciel `"B"` :
On calcul à quelle date `t_2’` la lumière va atteindre le miroir. La distance parcourue par la lumière pendant l'intervalle de temps `t_2’` est égale à la distance entre la source `"A"` en mouvement à l'instant `0` (car une fois la lumière émise, le mouvement de la source n'a pas d'influence sur sa trajectoire) et le miroir en mouvement à l'instant `t_2’`.
`c t_2’= x_2’`
`t_2’ = (x_2’)/c`
Puis on calcul à quelle date `t_3’` la lumière reflétée va revenir en `"A"`. La distance parcourue par la lumière pendant l'intervalle de temps `t_3’-t_2’` est égale à la distance entre le miroir en mouvement à l'instant `t_2’` (car une fois la lumière émise le mouvement de la source n'a pas d'influence sur sa trajectoire) et l'origine de `"A"` en mouvement à l'instant `t_3’`.
`c (t_3’-t_2’)= x_2’-x_3’`
`ct_3’- ct_2’= x_2’ +v t_3’`
`t_3’(c-v)= ct_2’ + x_2’`
`t_3’(c-v)=2x_2’`
`t_3’(c-v)=2ct_2’`
`t_3’=(2ct_2’)/(c-v)`
En résumé :
[1] `t_2=k/c`
[2] `x_2 =k`[3] `t_3= (2k)/c`
[4] `x_3 =0`
[5] `t_2’ = (x_2’)/c`
[6] `t_3’=(2ct_2’)/(c-v)`
[7] `x_3’ = -vt_3’`
On commence par éléminer les inconnue `t_2, x_2, t_3, x_3, x_2’, x_3’` en les remplacement comme suit :
`x_2=k`
`t_2=k"/"c`
`x_3=0`
`t_3=2k"/"c`
`x_2’=ct_2’`
`x_3’=-vt_3’`
On développe les transformations de coordonnées :
`(t_2’,x_2’)=ccL"⟨"v"⟩"(t_2,x_2)`
`(t_3’,x_3’)=ccL"⟨"v"⟩"(t_3,x_3)``[(t’),(x’)] = ccL"⟨"v"⟩"[(t),(x)]=[(p,q),(r,p)][(t),(x)]=[(pt+qx),(rt+px)]`
`t’=pt+qx`
`x’=rt+px`
`t_2’=pt_2+qx_2`
`x_2’=rt_2+px_2``t_3’=pt_3+qx_3`
`x_3’=rt_3+px_3`
[8] `t_2’=pk"/"c+qk`
[9] `ct_2’=rk"/"c+pk`[10] `t_3’=2pk"/"c`
[11] `-vt_3’=2rk"/"c`
Ces 4 équations sont équivalentes aux 4 équations obtenues par les transformations inverses :
`(t_2,x_2)=ccL"⟨-"v"⟩"(t_2’,x_2’)`
`(t_3,x_3)=ccL"⟨-"v"⟩"(t_3’,x_3’)``[(t),(x)]=ccL"⟨-"v"⟩"[(t’),(x’)]=[(p,-q),(-r,p)][(t’),(x’)]=[(pt’-qx’),(-rt’+px’)]`
`t=pt’-qx’`
`x=-rt’+px’`
`t_2=pt_2’-qx_2’`
`x_2 =-rt_2’+px_2’``t_3=pt_3’-qx_3’`
`x_3=-rt_3’+px_3’`
[12] `k"/"c=pt_2’-qct_2’`
[13] `k =-rt_2’+pct_2’`[14] `2k"/"c=pt_3’+qvt_3’`
[15] `0=-rt_3’-pvt_3’`
Voyons si nous pouvons résoudre ce système.
[15]→ `0=-rt_3’-pvt_3’`
[16] `r=-pv` [8]→ `t_2’=pk"/"c+qk`
[9]→ `ct_2’=rk"/"c+pk`
`ct_2=c(pk"/"c+qk)`
`ct_2’=rk"/"c+pk`
`pk+qkc=rk"/"c+pk`
`qkc=rk"/"c`
`qc=r"/"c`
[17] `r=qc^ 2`
[18] `qc^2=-pv`
[10]→ `t_3’=2pk"/"c`
[14]→ `2k"/"c=pt_3’+qvt_3’`
`2k"/"c=t_3’(p+qv)`
`2k"/"c=2pk(p+qv)"/"c`
`1=p(p+qv)`
`1=p^2+pqv`
`c^2=p^2c^2+pqc^2v`
`c^2=p^2c^2-ppv v`
`c^2=p^2c^2-p^2v^2`
`c^2=p^2(c^2-v^2)`
`p^2=(c^2)/(c^2-v^2)`
`p^2=1/(1-(v^2)/(c^2))`
[19] `p=1/sqrt((1-(v^2)/(c^2))`
[20] `ccL"⟨"v"⟩"=[(p,q),(r,p)]=[(p,-(pv)/(c^2)),(-pv,p)]`
`ccL"⟨"v"⟩"[(t),(x)]=[(p,q),(r,p)][(t),(x)]=[(pt+qx),(rt+px)]`
`t’ = pt+qx = pt-pvx"/"c^2 = (t-vx"/"c^ 2)p`
`x’ = rt+px = -pvt+px = (x-vt)p`
[21] `t’=(t-(vx)/c^2)/sqrt(1-(v^2)/(c^2))` [22] `x’=(x-vt)/sqrt(1-(v^2)/(c^2))`
