Dans notre périgrination à vouloir démontre que toutes nos connaissances fondamentales peuvent être déduites par le seul raisonnement, on emprunte une démarche à la fois pédagogique et de recherche éminemment constructive, renouant avec la notion de génèse. On considère dans cette partie un univers d'espace unidimensionnel. Le raisonnement est alors plus simple.
Dans le chapitre précédent, on a démontrer que le principe d'invariance des lois de l'univers par translation uniforme de référentiel, combiné avec le principe de l'impossibilité d'une action à distance instantanée, entraine la nécessité d'une vitesse absolue `c` d'un champ transportant cette action à distance, et entraine les règles de transformation de Lorentz.
Par commodité, tout référentiel `A` possède une particule fantome fixée à son origine spatiale qui est nommé avec le même nom, une particule dont le référentiel qui lui est propre est `A`.
Comme il n'y a qu'une dimension d'espace le signe de la vitesse indiquera le sens de la vitesse.
Etant donné un évènement de coordonnées `(t,x)` dans le référentiel `"A"`, et qui est de coordonnées `(t’,x’)` dans le référentiel `"B"`. Et considérons que le référentiel `"B"` se déplaçe à la vitesse constante `v` dans le référentiel `"A"`.
On pose en plus que dans le référentiel `"A"` ; à l'instant `t"="0` le référentiel `"B"` se trouve au point `x"="0` avec son horloge interne indiquant `0`. Ces conditions suffisent pour que symétriquement on est les mêmes conditions, à savoir que dans le référentiel `"B"` ; à l'instant `t’"="0` le référentiel `"A"` se trouve au point `x’"="0` avec son horloge interne indiquant `0`. Autrement dit, on suppose que l'évènement de coordonnées `(0,0)` dans le référentiel `"A"` est aussi de coordonnées `(0,0)` dans le référentiel `"B"`. Ils sont en quelques sortes calés, où autrement-dit, ils sont créés tous les deux au cours d'un même évènement, c'est à dire, quelque soit le référentiel, ils sont créés au même endroit et au même instant.
La notion de simultanéité n'est pas absolue, elle est relative au référentiel choisie, sauf si elle a lieu au même endroit, ce qui correspond alors à la coïncidence à la fois spatial et temporel de deux évènements.
La transformation de Lorentz permettant de calculer les coordonnées dans `"B"` à partir des coordonnées dans `"A"` est :
[20]→ `[(t’),(x’)] = [(p, -p v"/"c^2),(-p v, p)] [(t),(x)]`
[19]→ `p=1/sqrt(1-v^2/c^2)`
Afin d'obtenir un vecteur dont les composantes sont toutes de même espèce, on multiplie la coordonnée de temps par la vitesse de la lumière `c`. On obtient une coordonnée de temps-lumière qui est homogène à une coordonnée d'espace. C'est la définition du bivecteur position :
`[(ct’),(x’)]`
Cela homogénéise les coefficients de la matrice de transformation spéciale de Lorentz :
`[(ct’),(x’)] = [(p, -p v/c),(-p v/c, p)] [(ct),(x)] = p [(1, - v/c),(- v/c, 1)] [(ct),(x)]`
Dans la littérature, le facteur `p` se nomme facteur gamma noté `gamma`, et la transformation de Lorentz `varphi` se note généralement par la lettre `L`.
Considérons deux référentiels `"A"` et `"B"`. On considère les particules fantômes de même nom fixées à leurs origines spatiales respectives et de même temps propre que leur référentiel. On note les coordonnées dans le référentiel `"B"` avec une apostrophe, ainsi pour chaque évènement de bivecteur position de la forme `(ct,x)` dans `"A"`, son bivecteur position dans `"B"` se notera `(ct’,x’)`. Ces évènements `(ct,x)` peuvent dénoter la trajectoire d'une particule `"x"` auquel cas nous avons les neurones suivant `x"←"ct` et `x’"←"ct’`. Cela signifit que si la variable n'est appliquée à aucun argument alors elle est implicitement appliquée à son argument par défaut précisé dans le neurone, et donc `x"="x(ct)` et `x’"="x’(ct’)`.
dans le référentiel `"A"`
dans le référentiel `"B"`
`x’"←"ct’`On note la tranformation `"L"` transformant les coordonnées d'un évènement dans `"A"` en ceux dans `"B"`, et sa contraposée transformant le référentiel `"B"` en le référentiel `"A"`.
`L^-1("A")="B"`
`L[(ct),(x)]=[(ct’),(x’)]`
`L[(ct),(B)]=[(ct’),(0)]`
`L[(ct),(0)]=[(ct’),(A’)]`
Considérons que le référentiel `"B"` se déplace à la vitesse `v` dans `"A"`, et considérons qu'il est jumeau avec `"A"`, c'est à dire que l'évènement de leur naissance est de même coordonnées `(0,0)` dans les deux référentiels. La transformation en question devient alors la tranformation spéciale de Lorentz de paramètre `v` :
`B(ct)=vt`
`A’(ct’)=-vt’``gamma=1/sqrt(1-v^2/c^2)`
`L"<"v">"[(ct),(x)]=[(ct’),(x’)]`
`L"<"v">"=gamma[(1, - v"/"c),(- v"/"c, 1)]`
`ct’=gamma(ct-(vx)/c)`
`x’=gamma(x-vt)``A’(ct’)` : Position spatiale de `"A"` dans le référentiel `"B"` à l'instant `t’` de `"B"`.
`B(ct)` : Position spatiale de `"B"` dans le référentiel `"A"` à l'instant `t` de `"A"`.
`L"<"v">"` : Transformation du référentiel `"B"` en le référentiel `"A"`
`L"<"v">"` : Transformation des coordonnées dans `"A"` en celles dans `"B"`.
`L"<"v">"` : Transformation spéciale de Lorentz de paramètre `v`.
`(ct,x)` : Bivecteur position de la particule `"x"` dans `"A"`
`(ct’,x’)` : Bivecteur position de la particule `"x"` dans `"B"`
`gamma` : Facteur de dilatation du temps et de l'espace.
`v` : Vitesse de translation du référentiel `"B"` dans le rérérentiel `"A"`.
`c` : Vitesse de la lumière.
Ainsi obtient-on la définition de la transformation spéciale de Lorentz `L"<"v">"` appliquée au bivecteur `(ct,x)` :
[23] `L"<"v">"(ct,x) = gamma(ct - vx/c, x-v/c ct)`
Considérons une horloge fixée à l'origine spatiale du référentiel `"B"` autrement-dit sur la particule `"B"` et qui indique le temps propre de `"B"`. Puis considérons deux évènements, l'évènement initial de bivecteur position `(0,0)` et l'évènement de bivecteur position `(ct,0)` qui se produit lorsque l'horloge atteint le temps `t` tel un chronomètre paramétré pour mesurer cette intervalle de temps `t`.
Dans le référentiel `"A"`, ces deux évènements seront perçus avec des bivecteurs position suivants `(0,0)` et `L(ct,0) = (gammact,-gammavt)`. L'intervalle de temps-lumière dans le référentiel `"A"` sera de `gammact`. Autrement dit, l'intervalle de temps dans le référentiel `"A"` sera de `gammat`. Le facteur `gamma` est toujours plus grand que `1`. Ce phénomène est appellé la dilatation du temps. L'observateur `"A"` va percevoir la particule `"B"` comme ayant un temps ralenti. Il percevra l'horloge de `"B"` tournant à une vitesse plus faible, divisée d'un facteur `gamma`.
Ce qui parait paradoxal c'est que le phénomène est symétrique car `gamma` ne dépend que de la norme de `v` et pas de son signe. L'observateur `"B"` percevra l'horloge de `"A"` tournant également à une vitesse plus faible, divisée d'un facteur `gamma`. Ce qui entrainera le paradoxe dit "paradoxe des jumeaux" ou "paradoxe des horloges" lorsque l'on considérera des référentiels accélérés ou lorsque l'on considérera un univers refermé tel un cercle, permettant ainsi aux deux observateurs de se recroiser et de pouvoir comparer conjointement leurs horloges.
La génèse s'accomode mal avec l'infini, c'est pourquoi la conception des cycles mondes apparait. Un univers d'espace unidimensionnel peut ne pas être une droite indéfinie. L'espace peut être recourbé pour former un cercle c'est à dire un segment `[0,L]` dans lequel on a rejoint les deux bouts. Et il y a deux façons canoniques de rejoindre les deux bouts sans rompre la continuitée ni introduire de complexité arbitraire. On le fait soit directement, ou soit en inversant à la fois le sens de l'espace et le sens du temps, formant ainsi une sorte de ruban de Möbius à une seule dimension, appelé cercle de Möbius.
Considérons le premier cas, celui du cercle, un segment dont on a raccordé les deux bouts. Le principe de relativité doit s'appliquer. Il n'y a effectivement pas de centre dans cet univers. Chaque point du segment peut revendiquer être le centre. Et il ne doit pas y avoir de vitesse absolue autre que `c`.
Considérons un observateur `"A"` dans un vaisseau de taille `K`, et considérons un observateur `"B"` dans un vaisseau de même taille se déplaçant à la vitesse `v` par rapport à `"A"`. Dans le référentiel `"A"` la taille du vaisseau de `"B"` est de taille réduite `K"/"gamma` et l'horloge interne de `"B"` est ralentie, divisé d'un même facteur `gamma`. Et la situation est symétrique. `"B"` peut être considéré comme fixe et `"A"` comme se déplaçant à la vitesse `"-"v`. Et comme `gamma` ne dépent pas du signe de `v`, dans le référentiel `"B"` la taille du vaisseau de `"A"` est de taille réduite `K"/"gamma` et l'horloge interne de `"A"` est ralentie, divisé d'un même facteur `gamma`.
Cela n'est pas contradictoire jusqu'au moment où, du fait que le segment est reférmer en un cercle, les deux observateurs se recroisent, et qu'au cours de cet évènement précis où ils se croisent, ils peuvent comparer leur horloges internes conjointement. Dans le référentiel `"A"`, l'observateur `"B"` aura veilli moins vite que `"A"` car l'écoulement du temps pour `"B"` est ralenti d'un facteur `1"/"gamma`. Et symétriquement dans le référentiel `"B"`, l'observateur `"A"` aura veilli moins vite que `"B"` car l'écoulement du temps pour `"A"` est ralenti d'un facteur `1"/"gamma`. Cette contradiction appelée "le paradoxe des jumeaux" ou "le paradoxe des horloges" exclut donc cette construction trops simple du cercle comme univers.
Reste le deuxième cas canonique appelé "cercle de Möbius". Il consiste à raccorder les deux bouts du segment `[0,L]` mais en inversant le sens du temps ainsi que le sens de l'espace. Ce raccord s'apparente à un double miroir que l'on traverse. Et nous verrons que rien ne permet à l'observateur de savoir quand il traverse ce miroir de telle sorte que celui-ci n'est localisé nulle part, et respecte ainsi le principe de relativité. Il n'y a pas de centre dans cet univers. Chaque point du segment peut revendiquer être le centre. Et il n'y a pas de vitesse absolue autre que `c`.
Néamoins, pour le calcul, on peut localiser se raccord en double miroire, arbitrairement n'importe où. On constatera alors, pour qu'un voyageur se retrouve à sa position initiale veilli d'un même intervalle de temps que s'il n'était pas parti, il faut effectuer non pas un tour mais 2 tours de l'univers. Le cercle de Mobius est donc un double cercle que l'on peut représenter par le symbole de l'infini `oo`.
Le voyageur, après avoir fait un tour de l'univers, repasse sur sa position initiale mais sans aucun moyen de communication avec ceux restés sur place sous-peine d'une contradiction manifeste. Autrement-dit il est ailleurs. Et c'est seulement lorsqu'il repasse une deuxième fois après avoir fait deux tours de l'univers qu'il retrouve les siens en ayant veilli identiquement comme ceux restés sur place.
La topologie de l'univers va doter chaque couple de particules d'un différentiel entier désignant le nombre de tours de l'univers qui les sépare. Lorsque ce différentiel est impaire, les particules s'ignorent et lorsqu'il est paire les particules intéragissent.
L'effet de relativité restreinte est un effet du second ordre (dépendant de `v^2"/"c^2`) qui ne dépend pas du signe de `v`. Et il existe un effet du premier ordre (dépendant de `v"/"c`) beaucoup plus important appelé "effet Doppler" qui permet de calculer ce que voit l'observateur.
Notez la distinction entre percevoir et voir. On dira qu'un évènement est perçu par `"A"` avec comme bivecteur position `(ct,x)` si c'est bien le bivecteur position de l'évènement dans le référentiel `"A"`. Par contre, on dira qu'un évènement est vu par `"A"` de bivecteur position `(cT,X)` si un photon virtuel est parti de l'évènement de bivecteur position `(ct,x)` en question et a atteint l'observateur `"A"` à l'instant-lumière `cT`. Autrement-dit l'évènement est vu par `"A"` avec un retard, le temps que le photon virtuel part de l'évènement perçu par `"A"` pour arriver à `"A"` :
`cT = ct+x`
`X = x`
`(ct,x)` : Bivecteur position de l'événement perçu par `"A"`.
`(ct+x,x)` : Bivecteur position du même événement mais vu par `"A"`.
Cette définition permet de calculer ce que voit l'observateur lorsqu'il regarde une source lumineuse en mouvement. Une source lumineuse qui s'approche de l'observateur sera vue par lui comme émettant une lumière de fréquence plus élevée, et ceci d'autant plus que la vitesse de rapprochement de la source sera grande (et ce rapproche de `c`). Le spectre de la lumière dans l'ordre des fréquences se nomme par exemple : Ondes radio, infrarouge, rouge, orange, jaune, vert, bleu, violet, ultraviolet, rayon x, rayon gamma. On parlera de décalage vers le bleu pour un objet visible se rapprochant de nous à grande vitesse. Réciproquement, on parlera de décalage vers le rouge pour un objet visible s'éloignant de nous à grande vitesse.
La seule vitesse qui soit absolue est la vitesse de la lumière dans le vide `c`. Autrement-dit, si la lumière est émise au point de vecteur position `(ct_1,x_1)` puis se propage pour atteindre le point de vecteur position `(ct_2,x_2)`, la distance parcourue `(x_2"-"x_1)` est égale à l'intervalle de temps `(ct_2"-"ct_1)`
`c(t_2"-"t_1)=(x_2"-"x_1)`
Et il en sera de même dans tout autre référentiel en translation uniforme :
`c(t_2’"-"t_1’)=(x_2’"-"x_1’)`
En étudiant les propriétés des transformations spéciales de Lorentz `(ct,x)|->(ct’,x’)` traduisant les changement de référentiel en translation uniforme calées, on remarquera que quelque soient deux évènements de bivecteurs position `(ct_1,x_1)` et `(ct_2,x_2)`, l'expression suivante est invariante par changement de référentiel en translation uniforme calées :
`c^2(t_2"-"t_1)^2-(x_2"-"x_1)^2`
`c^2Deltat^2-Deltax^2`
D'où l'intérêt de définir cet invariant comme une caractéristique importante de ces deux évènements dans l'ordre. Et comme on souhaite garder la même unité de distance pour cet invariant, on la définie sous forme d'un carré et on l'appelle la distance d'univers `Deltas` :
`Deltas^2 = (cDeltat)^2-Deltax^2`
Lorsque `Deltas^2 >= 0` cela signifie que l'évènement n°1 peut agire sur l'évènement n°2.
Lorsque `Deltas^2 <0` cela signifie que l'évènement n°1 ne peut pas agire sur l'évènement n°2, car pour cela il faudrait qu'il transmette un signal avec une vitesse de transmission plus rapide que celle de la lumière.
Dans ce derniers cas, `Deltas` ne peut pas être un nombre réel. La seule extension de corps des réels permettant d'avoir des carrés négatifs est le corps des complexes, c'est pourquoi dans ce dernier cas `Deltas` est un nombre imaginaire pure.
Voyons maintenant si cette distance d'univers est invariante par les autres transformations de Lorentz génératrices que sont :
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Mettant en avant cette propriété remarquable d'invariant par transformation spéciale de Lorentz, on est amené à définir un bivecteur position où la coordonnée spatiale est un imaginaire pure :
`[(ct),(ix)]`
De telle sorte que la distance d'univers entre les évènements `[(0),(0)]` et `[(ct),(ix)]` s'obtient simplement en prenant le produit scalair suivant :
`[(ct),(ix)]·[(ct),(ix)] = c^2t^2 + i^2x^2 = c^2t^2 - x^2`
De telle sorte que la distance d'univers entre deux évènements `[(ct_1),(ix_1)]` et `[(ct_2),(ix_2)]` s'obtient simplement en prenant le produit scalair suivant :
`[(ct_2"-"ct_1),(ix_2"-"ix_1)]·[(ct_2"-"ct_1),(ix_2"-"ix_1)] = c^2(t_2-t_1)^2 - (x_2-x_1)^2`
Puis on remarquera que cette propriété d'invariance s'étend à tous les produits scalaires. Etant donné deux évènements `[(ct_1),(ix_1)]` et `[(ct_2),(ix_2)]`, le produit scalaire `c^2t_1t_2-x_1x_2` est invariant par toute transformation spéciales `L` de Lorentz :
`L([(ct_1),(ix_1)]) = [(ct_1’),(ix_1’)]` et `L([(ct_2),(ix_2)]) = [(ct_2’),(ix_2’)]`
`[(ct_1),(ix_1)]·[(ct_2),(ix_2)] = [(ct_1’),(ix_1’)]·[(ct_2’),(ix_2’)]`
`c^2t_1t_2-x_1x_2 = c^2t_1’t_2’-x_1’x_2’`
En précisant bien qu'il s'agit d'une position spatio-temporelle, celle-ci peut se noter sous forme d'un nombre complexe :
`[(ct),(ix)] = ct+ix`
Et la transformation spécial de lorentz `L"<"v">"` peut alors se noter sous forme d'une fonction complexe :
[23]→ `L"<"v">"(ct+ix)=gamma( (ct-v/c x)+i(x-v/c ct))`
`z=ct+ix`
`barz=ct-ix`
`z+barz = 2ct`
`z-barz = 2ix`
`i(z-barz)=-2x``L"<"v">"(z)=gamma( (ct-v/c x)+i(x-v/c ct))`
`2L"<"v">"(z)=gamma( (z+barz + v/c i(z-barz)) + i(-i(z-barz)-v/c (z+barz)))`
`2L"<"v">"(z)=gamma( z+barz +z - barz + i(v/c(z - barz - z - barz)))`
`2L"<"v">"(z)=gamma( z+z + i(v/c(- barz - barz)))`
`L"<"v">"(z)=gamma( z - iv/cbarz)`
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